Question

Помогите 2log5(x-1)=log5(7-x) нужно подробно расписать решение с объяснением...

Answer 1

Всё подробно написал:

Answer 2

Давайте решим уравнение \(2\log_5(x-1) = \log_5(7-x)\) пошагово.

1. Применение свойства логарифмов: \[ \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \] Используем это свойство для упрощения левой стороны уравнения: \[ \log_5((x-1)^2) = \log_5(7-x) \]

2. Отмена логарифмических функций: Если \(\log_b(a) = \log_b(c)\), то \(a = c\). Используем это свойство: \[ (x-1)^2 = 7-x \]

3. Раскрытие скобок и приведение подобных членов: Раскроем квадрат на левой стороне и приведем подобные члены: \[ x^2 - 2x + 1 = 7 - x \]

4. Приведение подобных членов и перенос всех членов в одну сторону: \[ x^2 - x - 6 = 0 \]

5. Факторизация или применение квадратного корня: Уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) можно решить с использованием формулы квадратного корня: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае, для \(ax^2 - x - 6 = 0\), коэффициенты \(a\), \(b\), и \(c\) равны соответственно 1, -1 и -6. Подставим их в формулу: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \]

Таким образом, получаем два решения: - \( x = \frac{1 + 5}{2} = 3 \) - \( x = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)

6. Проверка корней: Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению. Подставим \(x = 3\) и \(x = -2\) обратно в исходное уравнение и проверим.

При \(x = 3\): \[ 2\log_5(3-1) = \log_5(7-3) \] \[ 2\log_5(2) = \log_5(4) \] \[ 2 \cdot 1 = 2 \]

При \(x = -2\): \[ 2\log_5(-2-1) = \log_5(7+2) \] \[ 2\log_5(-3) \] Заметим, что логарифм от отрицательного числа не определен в обычных действительных числах, поэтому \(x = -2\) не является корнем уравнения.

Таким образом, решение уравнения \(2\log_5(x-1) = \log_5(7-x)\) - это \(x = 3\).