Question

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

Answer 1

$\int\limits\frac{dx}{1+16x^{2}} = \int\limits\frac{dx}{1+(4x)^{2}} = \frac{1}{4}\int\limits\frac{d(4x)}{1+(4x)^{2}} = \frac{1}{4}\int\limits\frac{dt}{1+t^{2}} = \frac{1}{4} arctg 4x + C$

Answer 2

Неопределенные интегралы и метод непосредственного интегрирования

Неопределенный интеграл является обратной операцией к дифференцированию и позволяет найти функцию, производная которой равна данной функции. Метод непосредственного интегрирования, также известный как метод аналитического интегрирования, позволяет найти неопределенные интегралы путем применения известных правил интегрирования.

Примеры неопределенных интегралов и их решение

Вот несколько примеров неопределенных интегралов и их решений:

Пример 1: Вычислить неопределенный интеграл ∫(3x+15)dx.

Решение: Для решения данного интеграла, мы можем использовать правило линейности интеграла и правило степенной функции.

∫(3x+15)dx = ∫3xdx + ∫15dx = 3∫xdx + 15∫dx = 3(x^2/2) + 15x + C, где C - произвольная постоянная.

Пример 2: Вычислить неопределенный интеграл ∫cos^4(x)sin^3(x)dx.

Решение: Для решения данного интеграла, мы можем использовать правило произведения функций и правило степенной функции.

∫cos^4(x)sin^3(x)dx = ∫(cos^2(x))^2*sin^3(x)dx = ∫(1 - sin^2(x))^2*sin^3(x)dx.

Здесь мы можем воспользоваться заменой переменной, чтобы упростить интеграл.

Пусть u = sin(x), тогда du = cos(x)dx.

Заменяя переменные, получим:

∫(1 - u^2)^2*u^3du = ∫(1 - 2u^2 + u^4)*u^3du = ∫(u^3 - 2u^5 + u^7)du = u^4/4 - 2u^6/6 + u^8/8 + C.

Возвращаясь к исходной переменной, получим:

∫cos^4(x)sin^3(x)dx = sin^4(x)/4 - 2sin^6(x)/6 + sin^8(x)/8 + C.

Пример 3: Вычислить неопределенный интеграл ∫x^2e^xdx.

Решение: Для решения данного интеграла, мы можем использовать интегрирование по частям.

Пусть u = x^2, dv = e^xdx, тогда du = 2xdx, v = e^x.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫udv = uv - ∫vdu, получим:

∫x^2e^xdx = x^2e^x - ∫2xe^xdx.

Мы можем продолжить применять интегрирование по частям к оставшемуся интегралу ∫2xe^xdx.

Пусть u = 2x, dv = e^xdx, тогда du = 2dx, v = e^x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫2xe^xdx = 2xe^x - ∫2e^xdx.

Интеграл ∫2e^xdx легко вычисляется и равен 2e^x.

Подставляя значения обратно, получим:

∫x^2e^xdx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C.

Заключение

Метод непосредственного интегрирования позволяет найти неопределенные интегралы путем применения известных правил интегрирования. В данном ответе были приведены примеры неопределенных интегралов и их решений, используя различные правила интегрирования.