Question

Помогите вычислить предел ( подробно пожалуйста, ибо 3 раза подходил к преподу, три раза говорил не правильно сделал) Сам пример: lim 2x/tg(2pi(x+1/2)) x стремится к 0

Answer 1

$\lim\limits _{x \to 0} \frac{2x}{tg(2\pi(x+\frac{1}{2}))} =[\, tg(2\pi (x+ \frac{1}{2}))=tg(2\pi x+\pi )=tg(2\pi x)\, ]=\\\\=\lim\limits _{x\to 0} \frac{2x}{tg(2\pi x)} =\lim\limits_{x\to 0} \left (\frac{2\pi x}{sin(2\pi x)} \cdot \frac{cos(2\pi x)}\pi }\right )=\lim\limits _{x\to 0} \frac{2\pi x}{sin(2\pi x)}\cdot \lim\limits _{x\to 0}\frac{cos(2\pi x)}{\pi }=\\\\=1\cdot \lim\limits _{x\to 0}\frac{cos(2\pi x)}{\pi }=\frac{1}{\pi }\\\\P.S.\; \; \; tg( \alpha +\pi )=tg \alpha$

Замечание.  Можно сразу   $tg(2\pi x)$  заменить на эквивалентную бесконечно малую величину   $2\pi x$  , так как   $2\pi x\to 0$    при $x\to 0$ .

Answer 2

Вычисление предела

Чтобы вычислить предел, который вы предложили, необходимо использовать определение предела и применить некоторые свойства функций. Давайте разберемся по шагам:

1. Определение предела: Предел функции f(x) при x стремящемся к a обозначается как lim(x->a) f(x) и означает, что значение функции f(x) приближается к определенному числу L, когда x приближается к a, без необходимости быть равным a.

2. Разложение функции: В нашем случае, у нас есть функция f(x) = 2x/tg(2π(x+1/2)), и мы хотим вычислить предел, когда x стремится к 0.

3. Применение свойств функций: Воспользуемся свойствами тригонометрии и алгебры для упрощения нашего выражения. Для начала, заметим, что tg(2π(x+1/2)) можно заменить на sin(2π(x+1/2))/cos(2π(x+1/2)), поскольку tg(x) = sin(x)/cos(x). Получаем следующее выражение: f(x) = 2x/(sin(2π(x+1/2))/cos(2π(x+1/2)))

4. Разложение числителя и знаменателя: Для удобства вычислений, разложим числитель и знаменатель на отдельные функции:

Числитель: g(x) = 2x Знаменатель: h(x) = sin(2π(x+1/2))/cos(2π(x+1/2))

5. Применение свойств пределов: Для вычисления предела, мы можем использовать свойства пределов, такие как арифметические свойства и свойства пределов тригонометрических функций. Применим их по очереди:

a) Предел суммы: lim(x->a) [f(x) + g(x)] = lim(x->a) f(x) + lim(x->a) g(x) b) Предел произведения: lim(x->a) [f(x) * g(x)] = lim(x->a) f(x) * lim(x->a) g(x) c) Предел отношения: lim(x->a) [f(x) / g(x)] = (lim(x->a) f(x)) / (lim(x->a) g(x))

6. Вычисление пределов числителя и знаменателя: Поскольку числитель g(x) = 2x, его предел при x стремящемся к 0 будет равен 0. То есть, lim(x->0) g(x) = 0.

Для знаменателя h(x) = sin(2π(x+1/2))/cos(2π(x+1/2)), заметим, что sin(2π(x+1/2)) и cos(2π(x+1/2)) оба стремятся к 0, когда x стремится к 0. Поэтому, можно применить правило Лопиталя для вычисления предела отношения функций в данном случае. Правило Лопиталя позволяет нам вычислить предел отношения функций, заменив числитель и знаменатель на их производные. Применяя данное правило получим:

lim(x->0) h(x) = lim(x->0) [d(sin(2π(x+1/2)))/dx] / [d(cos(2π(x+1/2)))/dx]

Производная sin(2π(x+1/2)) равна 2πcos(2π(x+1/2)), а производная cos(2π(x+1/2)) равна -2πsin(2π(x+1/2)). Заменим числитель и знаменатель на их производные:

lim(x->0) h(x) = lim(x->0) [2πcos(2π(x+1/2))] / [-2πsin