Question

Необходимо найти корни уравнения, не могли бы помочь. один корень найден. х=1, остальные два нет x^2+1/x^2+2(x+1/x)=6

Answer 1

x²+1/x²+2(x+1/x)=6;

(x⁴+1+2x³+2x)/x²=6;

x⁴+1+2x³+2x=6x²;

x⁴+2x³-6x²+2x+1=0;

(x-1)(x³+3x²-3x-1)=0;

(x-1)²(x²+4x+1)=0;

x₁ =1;

{x²+4x+1=0};

√D=2√3;

x₂ =-2+√3;

x₃ =-2-√3.

Answer 2

Конечно, давайте найдем корни уравнения. Данное уравнение выглядит следующим образом:

\[x^2 + \frac{1}{x^2} + 2(x + \frac{1}{x}) = 6.\]

Давайте введем временную переменную для упрощения выражения. Пусть \(y = x + \frac{1}{x}\). Тогда уравнение примет вид:

\[x^2 + \frac{1}{x^2} + 2(x + \frac{1}{x}) = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2y = 6.\]

Теперь мы можем переписать уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(y\):

\[y^2 + 2y - 4 = 0.\]

Далее, решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В данном уравнении \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = -4\). Подставим значения:

\[y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}.\]

Таким образом, у нас есть два значения для \(y\): \(y_1 = -1 + \sqrt{5}\) и \(y_2 = -1 - \sqrt{5}\).

Теперь вернемся к выражению для \(y\), которое мы ввели ранее:

\[y = x + \frac{1}{x}.\]

Решим уравнения относительно \(x\) для обоих значений \(y\):

1. Для \(y_1 = -1 + \sqrt{5}\): \[x + \frac{1}{x} = -1 + \sqrt{5}.\]

Умножим обе стороны на \(x\): \[x^2 + 1 = -x\sqrt{5} + \sqrt{5}x.\]

Переносим все члены в одну сторону: \[x^2 - \sqrt{5}x + 1 - \sqrt{5} = 0.\]

2. Для \(y_2 = -1 - \sqrt{5}\): \[x + \frac{1}{x} = -1 - \sqrt{5}.\]

Умножим обе стороны на \(x\): \[x^2 + 1 = -x\sqrt{5} - \sqrt{5}x.\]

Переносим все члены в одну сторону: \[x^2 + \sqrt{5}x + 1 + \sqrt{5} = 0.\]

Теперь у нас есть два квадратных уравнения относительно \(x\), и их можно решить, например, с использованием метода квадратного корня или факторизации. Найденный корень \(x = 1\) соответствует одному из корней исходного уравнения. Остальные корни можно найти, решив указанные квадратные уравнения.