Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма её первых пяти членов 31. Найдите первый член прогрессии.

Answer 1

$32= \frac{b1}{1-q}$
$31= \frac{b1(1-q^{5} )}{1-q}$
b1=32(1-q)
$31= \frac{32(1-q)(1-q^{5} )}{1-q}= 32(1-q^{5})$
$q^{5}=1- \frac{31}{32}= \frac{1}{32}$
q=1/2
b1=32(1-1/2)=32 *  1/2 = 16

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид:

S = a / (1 - r)

где: S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Мы знаем, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32:

32 = a / (1 - r)

Также нам дано, что сумма первых пяти членов прогрессии равна 31. Для вычисления этой суммы, мы можем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)

где: Sn - сумма первых n членов прогрессии.

Подставим значения в формулу:

31 = a * (1 - r^5) / (1 - r)

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и r). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a и r.

Прежде всего, давайте решим первое уравнение относительно r:

32 * (1 - r) = a

Теперь, подставим это значение во второе уравнение:

31 = (32 * (1 - r) * (1 - r^5)) / (1 - r)

Упростим это уравнение:

31 = 32 * (1 - r^5)

Раскроем скобки:

31 = 32 - 32 * r^5

Теперь, выразим r^5:

r^5 = (32 - 31) / 32

r^5 = 1 / 32

Теперь найдём значение r:

r = (1 / 32)^(1/5)

r ≈ 0.5

Теперь, подставим значение r обратно в первое уравнение, чтобы найти значение a:

32 * (1 - 0.5) = a

16 = a

Таким образом, первый член прогрессии равен 16.