Question

Найдите площадь плоской фигуры ограниченной графиками функций y=(x-1)^2+1 и y=-(x-3)^2+5

Answer 1

Даны функции y=(x-1)^2+1 и y=-(x-3)^2+5.
Раскроем скобки и приравняем, чтобы определить абсциссы точек пересечения графиков этих функций:
х² - 2х + 1 + 1 = -(х² - 6х + 9) + 5,
х² - 2х + 1 + 1 = -х² +6х - 9 + 5,
2х² - 8х + 6 = 0 или, сократив на 2: х² - 4х + 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-4)^2-4*1*3=16-4*3=16-12=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√4-(-4))/(2*1)=(2-(-4))/2=(2+4)/2=6/2=3;x_2=(-√4-(-4))/(2*1)=(-2-(-4))/2=(-2+4)/2=2/2=1.
Имеем 2 точки пересечения: х = 1 и х = 3.
Площадь общей части двух графиков равна интегралу:
$S= \int\limits^3_1 {((-x^2+6x-4)-(x^2-2x+2))} \, dx = \int\limits^3_1 {(-2x^2+8x-6)} \, dx =$$- \frac{2x^3}{3} + \frac{8x^2}{2}-6x|_1^3=- \frac{2*27}{3}+4*9-18-(- \frac{2}{3}+4-6)= \frac{8}{3}.$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y = (x-1)^2 + 1 и y = -(x-3)^2 + 5, мы можем использовать метод интегрирования. Давайте разобьем эту задачу на две части и найдем площадь каждой части отдельно.

Найдем точки пересечения графиков функций

Для начала, найдем точки пересечения графиков функций y = (x-1)^2 + 1 и y = -(x-3)^2 + 5. Для этого приравняем две функции друг к другу и решим полученное уравнение:

(x-1)^2 + 1 = -(x-3)^2 + 5

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^2 - 2x + 1 + 1 = -x^2 + 6x - 9 + 5

Просимо упростим уравнение:

2x^2 - 8x + 5 = 0