Question

Решите неравенство cos2x=cos4x

Answer 1

Это уравнение:
сos 2x - cos 4x = 0,
cos 2x - (2 cos²2x-1)=0
cos 2x - 2 cos² 2x +1 =0,
замена переменной  t = cos 2x,  t² = cos ² 2x
2 t²-t-1 = 0
D= (-1)²-4·2·(-1)=9=3²
t = (1 - 3 ) /4 = - 1/2    или        t=(1+3)/4=1
Решаем два уравнения
сos 2x = -1/2
2x =  ± arccos (-1/2)  + 2πk, k∈Z    ⇒ x = ±(π/3) + πk, k∈Z
сos 2x = 1 
2x = 2π·n, n∈Z    ⇒    x = πn, n∈Z
Ответ. x = ±(π/3) + πk, x = πn,    k,n ∈Z

Answer 2

Для решения уравнения \( \cos(2x) = \cos(4x) \), мы можем использовать тригонометрические тождества. Здесь важно помнить тригонометрическое тождество для косинуса двойного угла:

\[ \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 \]

Теперь подставим \( \cos(2x) \) и \( \cos(4x) \) в это тождество:

\[ 2\cos^2(2x) - 1 = \cos(4x) \]

Теперь приведем уравнение к одной степени:

\[ 2(2\cos^2(x) - 1)^2 - 1 = 2\cos^4(x) - 2 - 1 = \cos(4x) \]

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[ 2\cos^4(x) - 3 = 0 \]

Теперь решим это уравнение. Для этого давайте представим, что \( u = \cos^2(x) \), тогда у нас будет:

\[ 2u^2 - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ 2u^2 = 3 \]

\[ u^2 = \frac{3}{2} \]

\[ u = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \]

Так как \( u = \cos^2(x) \), то:

\[ \cos(x) = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \]

Однако, косинус угла не может быть больше 1 или меньше -1. Таким образом, уравнение не имеет решений в действительных числах. Следовательно, исходное неравенство \( \cos(2x) = \cos(4x) \) не имеет решений в действительных числах.