Question

плизз помогите решить неравенство (x+3)(x^2-x)^2/x-2,больше либо равно нулю

Answer 1

раскладываем получаем что (x(x-1)(x+3))/x-2 далее ОДЗ x не равен 2 

далее чтобы это выражение ровнялось нулю надо чтобы числитель ровнялся нулю тогда х=0;-3;1 чтобы выражение было больше нуля надо чтобы знаменатель был меньше нуля но при том и числитель должен быть меньше нуля либо числитель положительный тогда и знаменатель должен быть положительным значит хбольше 2 больше 1 и больше -3

Answer 2

Давайте разберемся с неравенством и постараемся его решить.

Имеем неравенство:

\[\frac{(x + 3)(x^2 - x)^2}{x - 2} \geq 0\]

Для начала определим, при каких значениях \(x\) дробь равна нулю или не существует. В числителе у нас есть множители \((x + 3)\) и \((x^2 - x)^2\), а в знаменателе \((x - 2)\). Установим, при каких значениях эти множители равны нулю или не существуют.

1. Нумератор: \((x + 3) = 0\) или \((x^2 - x)^2 = 0\) - \((x + 3) = 0\) при \(x = -3\) - \((x^2 - x)^2 = 0\) при \(x = 0\) (это значение считается дважды, так как степень 2)

2. Знаменатель: \((x - 2) = 0\) - \((x - 2) = 0\) при \(x = 2\)

Теперь у нас есть три критических точки: \(x = -3\), \(x = 0\) и \(x = 2\). Эти точки разбивают ось \(x\) на четыре интервала: \((- \infty, -3)\), \((-3, 0)\), \((0, 2)\), \((2, +\infty)\).

Давайте теперь определим знак выражения в каждом из этих интервалов.

1. Подставим \(x = -4\) (взято из интервала \((- \infty, -3)\)): \[\frac{(-4 + 3)((-4)^2 - (-4))^2}{-4 - 2} = \frac{-1 \cdot 64}{-6} > 0\] Таким образом, на интервале \((- \infty, -3)\) выражение больше нуля.

2. Подставим \(x = -1\) (взято из интервала \((-3, 0)\)): \[\frac{(-1 + 3)((-1)^2 - (-1))^2}{-1 - 2} = \frac{2 \cdot 0}{-3} = 0\] На интервале \((-3, 0)\) выражение равно нулю.

3. Подставим \(x = 1\) (взято из интервала \((0, 2)\)): \[\frac{(1 + 3)((1)^2 - (1))^2}{1 - 2} = \frac{4 \cdot 0}{-1} = 0\] На интервале \((0, 2)\) выражение также равно нулю.

4. Подставим \(x = 3\) (взято из интервала \((2, +\infty)\)): \[\frac{(3 + 3)((3)^2 - (3))^2}{3 - 2} = \frac{6 \cdot 0}{1} = 0\] На интервале \((2, +\infty)\) выражение снова равно нулю.

Итак, мы видим, что неравенство \(\frac{(x + 3)(x^2 - x)^2}{x - 2} \geq 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, -3)\), \((-3, 0)\), \((0, 2)\) и \((2, +\infty)\). Следовательно, решение этого неравенства — это объединение этих интервалов:

\[x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)\]

Таким образом, данное неравенство выполняется для всех значений \(x\) из указанных интервалов.