Question

Клієнт поклав у банк вклад у декілька 100 гривневих купюр. Через рік банк нарахував йому 100грн відсоткових грошей .Додавши 400грн до загальної суми клієнт залишив ще на 1 рік свої збереження в банку .В кінці року знову були нараховані відсотки. І тепер вклад разом з відсотками складав 1650грн .Яка сума була покладено в банк спочатку?

Answer 1

Формула сложной процентной ставки: $S=P(1+i)^n$, где S - наращенная сумма, P - первоначальная сумма вклада, i - процентная ставка, n - срок ссуды;

Само решение:

Пусть клиент сначала положил x грн в банк, тогда через год он получит $x(1+i)$ грн и получил он прибыль 100 грн, т.е. $x(1+i)-x=100$ откуда $xi=100$

К общей сумме он добавил 400 грн на год свои сбережения в банке, то на следующий год он получит $\left(x(1+i)+400\right)(1+i)$ грн, что по условию вклад вместе с процентами составил 1650 грн.

$\left(x(1+i)+400\right)(1+i)=1650\\ x(1+i)^2+400(1+i)=1650\\ x(1+i)^2+400+400i=1650\\ x(1+i)^2+400i-1250=0\\ \dfrac{100}{i}(1+2i+i^2)+400i-1250=0~~~\bigg|\cdot \dfrac{i}{10}\ne0\\ \\ 10+20i+10i^2+40i^2-125i=0\\ 50i^2-105i+10=0~~|:5\\ 10i^2-21i+2=0$

Решаем как квадратное уравнение через дискриминант

$D=(-21)^2-4\cdot 10\cdot 2=441-80=361\\ \sqrt{D}=19$

$i_1=\dfrac{21-19}{2\cdot10}=\dfrac{1}{10}=0.1\\ \\ i_2=\dfrac{21+19}{2\cdot10}=2$

$x_1=\dfrac{100}{i_1}=\dfrac{100}{0.1}=1000$ грн - начальная сумма вклада

$x_2=\dfrac{100}{i_2}=\dfrac{100}{2}=50$ грн - не подходит условию, так как клиент положил несколько 100 гривневых купюр

Ответ: начальная сумма вклада 1000 грн с 10% годовыми.

Answer 2

Давайте позначимо суму, яку клієнт поклав спочатку, як S.

1. Перший рік: - Клієнт поклав у банк S гривень. - Банк нарахував йому 100 грн відсотків. - Тепер загальна сума становить S + 100 грн.

2. Додавання 400 грн і другий рік: - Клієнт додає до загальної суми 400 грн, отримуємо S + 100 грн + 400 грн = S + 500 грн. - Ця сума залишається в банку на наступний рік.

3. Другий рік: - Банк нараховує відсотки на залишок, тобто на (S + 500 грн). - Тепер загальна сума становить (S + 500 грн) + (S + 500 грн) * 0.01 = 2 * (S + 500 грн).

4. Загальна сума в кінці року: - За кінець другого року загальна сума разом зі відсотками становить 1650 грн. - Отже, 2 * (S + 500 грн) = 1650 грн.

5. Розв'язок рівняння: - Розділимо обидві сторони на 2: S + 500 грн = 825 грн. - Віднімемо 500 грн від обох сторін: S = 325 грн.

Отже, спочатку клієнт поклав у банк 325 гривень.