Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ:sin²x+sinx*cosx-2cos²x=0​

Answer 1

Ответ:

$\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$,

$-arctg(2)+\pi k,k\in Z$

Объяснение:

Разделим обе части уравнения на cos²(x)≠0.

Получим уравнение относительно tg(x).

$tg^2(x)+tg(x)-2=0$

Пусть tg(x)=t.

Тогда

$t^2+t-2=0,\\t_1=1,\\t_2=-2$

При t=1:

$tg(x)=1,\\x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$

При t=2:

$tg(x)=-2,\\x=-arctg(2)+\pi k,k\in Z$

Answer 2

Для решения уравнения sin²x + sinx*cosx - 2cos²x = 0 сначала преобразуем его и заменим sinx и cosx на соответствующие тригонометрические тождества.

Воспользуемся тригонометрическими тождествами: sin²x = 1 - cos²x и sinx*cosx = (1/2)*sin2x.

Подставим эти значения в уравнение и преобразуем его:

1 - cos²x + (1/2)*sin2x - 2cos²x = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

1 - cos²x + (1/2)*(2sinx*cosx) - 2cos²x = 0.

Упростим:

1 - cos²x + sinx*cosx - 2cos²x = 0.

Теперь объединим все слагаемые:

1 - 3cos²x + sinx*cosx = 0.

Далее, заменим cos²x на 1 - sin²x:

1 - 3(1 - sin²x) + sinx*cosx = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

1 - 3 + 3sin²x + sinx*cosx = 0.

Упростим:

-2 + 3sin²x + sinx*cosx = 0.

Теперь приведем уравнение к квадратному виду. Обозначим sinx как t:

-2 + 3t² + t*cosx = 0.

Для того чтобы решить это квадратное уравнение относительно t, нужно рассмотреть два случая: t = 0 и t ≠ 0.

Случай 1: t = 0

Если t = 0, то sinx = 0. Это означает, что x может быть равно 0, π, 2π, 3π, и т.д., так как sinx = 0 при x = nπ, где n - целое число.

Случай 2: t ≠ 0

Если t ≠ 0, то можно поделить уравнение на t:

(-2 + 3t² + t*cosx) / t = 0 / t.

Получим:

-2/t + 3t + cosx = 0.

Так как t ≠ 0, можно умножить обе части уравнения на t:

-2 + 3t² + t*cosx = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно t. Мы можем решить его с помощью дискриминанта или других методов решения квадратных уравнений.

После решения квадратного уравнения найденные значения t подставляем обратно в sinx = t и находим соответствующие значения x.

Таким образом, уравнение sin²x + sinx*cosx - 2cos²x = 0 имеет решения при x = nπ (где n - целое число) и при решении квадратного уравнения относительно t.