Question

В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой, третья с шестой. Доказать что это число делится на 7,11,13.

Answer 1

Пусть первая цифра а, вторая цифра в, третья цифра с, тогда шестизначное число равно 100 000а+10 000в+1000с+100а+10в+с=100 100а+10010в+1001с=1001(100а+10в+с), а значит делится нацело на число 1001.
Так как 1001=7*11*13 , то тем самым мы получили что шестизначное число такого вида делится нацело на 7, на 11, на 13. Доказано

Answer 2

Для доказательства того, что данное шестизначное число делится на 7, 11 и 13, мы можем воспользоваться свойствами делимости для этих чисел.

Делимость на 7: Чтобы число было делимым на 7, разность между суммой цифр, стоящих на четных позициях (1-я, 3-я и 5-я позиции) и утроенной суммой цифр, стоящих на нечетных позициях (2-я, 4-я и 6-я позиции), должна быть кратной 7.

В данном случае, первая цифра совпадает с четвертой (позиции 1 и 4), вторая цифра совпадает с пятой (позиции 2 и 5), и третья цифра совпадает с шестой (позиции 3 и 6). Это означает, что сумма цифр, стоящих на четных позициях, равна сумме цифр, стоящих на нечетных позициях: (1+4) = (2+5) = (3+6).

Разность между суммой цифр, стоящих на четных позициях, и утроенной суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, равна: (1+4) - 3*(2+5) = 5 - 3*7 = 5 - 21 = -16

Так как -16 не является кратным 7, это значит, что данное шестизначное число не делится на 7.

Делимость на 11: Чтобы число было делимым на 11, разность между суммой цифр, стоящих на четных позициях, и суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, должна быть кратной 11.

В данном случае, мы уже знаем, что сумма цифр, стоящих на четных позициях, равна сумме цифр, стоящих на нечетных позициях, так как первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой и третья с шестой. Это значит, что разность между этими суммами будет равна нулю.

Так как разность равна нулю, это означает, что данное шестизначное число делится на 11.

Делимость на 13: Чтобы число было делимым на 13, разность между утроенной суммой цифр, стоящих на четных позициях, и суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, должна быть кратной 13.

В данном случае, мы уже знаем, что сумма цифр, стоящих на четных позициях, равна сумме цифр, стоящих на нечетных позициях. Это значит, что разность между утроенной суммой этих цифр и суммой цифр будет равна нулю.

Так как разность равна нулю, это означает, что данное шестизначное число делится на 13.

Итак, мы доказали, что данное шестизначное число делится на 11 и 13, но не делится на 7.