Question

Найдите промежутки монотонности функции f(x)=√x2+6x

Answer 1

Область определения функции (подкоренное выражение >0) В ЗАДАНИИ ВСЕ ПОД КОРНЕМ?? Если ДА
x^2+6x>0   получаем x<-6 или х>0

Находим производную данной функции корень(х^2+6x)
f штрих=1/2(корень(x^2+6) * (2x+6)
Если производная >0 функция возрастает, <0  то убывает

Знаменатель производной положителен, значит все зависит от числителя
производная положительна при  х>-3, учитывая область определения получаем при x>0 возрастает
при х<-6 производная отрицательна (включая обл опр получаем при х<-6  функция убывает

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности функции \(f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}\), нужно выполнить несколько шагов. Сначала найдем производную функции, а затем определим её знаки на различных интервалах.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\).

\[f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}\]

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 6x}} \cdot (2x + 6)\]

Упростим:

\[f'(x) = \frac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 6x}}\]

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю или не существует.

Уравнение для определения точек, где производная равна нулю:

\[x + 3 = 0\]

Отсюда получаем, что \(x = -3\). Это единственная точка, где производная может быть равна нулю.

Шаг 3: Определим знаки производной на интервалах между найденными точками и за пределами этих точек.

Три интервала: 1. \((-\infty, -3)\) 2. \((-3, +\infty)\)

Выберем тестовую точку для каждого интервала и подставим её в производную \(f'(x)\):

1. Для интервала \((-\infty, -3)\) возьмем \(x = -4\):

\[f'(-4) = \frac{(-4) + 3}{\sqrt{(-4)^2 + 6(-4)}} = \frac{-1}{\sqrt{16 - 24}} = \frac{-1}{\sqrt{-8}}\]

Так как знаменатель отрицательный, то \(f'(-4)\) отрицательно.

2. Для интервала \((-3, +\infty)\) возьмем \(x = 0\):

\[f'(0) = \frac{0 + 3}{\sqrt{0^2 + 6 \cdot 0}} = \frac{3}{\sqrt{0}}\]

Так как знаменатель равен нулю, производная на этом интервале не существует.

Таким образом, на интервале \((-\infty, -3)\) производная отрицательна, а на интервале \((-3, +\infty)\) производная не существует.

Шаг 4: Сделаем вывод о монотонности функции.

На интервале \((-\infty, -3)\) производная отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале.

На интервале \((-3, +\infty)\) производная не существует, поэтому мы не можем сделать вывод о монотонности на этом интервале только с использованием первой производной. Возможно, там есть точки экстремума, и для более точного анализа потребуется вторая производная.

Итак, функция \(f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}\) убывает на интервале \((-\infty, -3)\), а для интервала \((-3, +\infty)\) требуется более подробный анализ.