Question

Решите неравенство методом интервалов (x+5)^5(x-2)^2(x+4)^4>0

Answer 1

Здесь две двойные точки.

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, мы будем исследовать знаки выражения `(x + 5)^5(x - 2)^2(x + 4)^4`.

Шаг 1: Найдем критические точки, где выражение обращается в ноль. Эти точки являются разрывами функции и могут менять знак выражения.

`(x + 5)^5(x - 2)^2(x + 4)^4 = 0`

Заметим, что каждый из множителей в данном выражении является положительным при любом значении `x`, кроме случаев, когда он равен нулю. Поэтому, чтобы выражение обратилось в ноль, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Таким образом, у нас есть три критические точки: `x = -5`, `x = 2` и `x = -4`.

Шаг 2: Построим таблицу знаков, чтобы определить знак выражения в каждом интервале между критическими точками. Для этого выберем точку в каждом интервале и подставим ее в выражение `(x + 5)^5(x - 2)^2(x + 4)^4`.

| Интервал | x < -5 | -5 < x < -4 | -4 < x < 2 | x > 2 | |----------------|---------|-------------|------------|------| | Выражение `(x + 5)^5(x - 2)^2(x + 4)^4` | + | - | + | + |

Из таблицы знаков видно, что выражение `(x + 5)^5(x - 2)^2(x + 4)^4` положительно на интервалах `(-∞, -5)`, `(-4, 2)` и `(2, +∞)`.

Шаг 3: Определим значения `x`, при которых выражение `(x + 5)^5(x - 2)^2(x + 4)^4 > 0`.

Из таблицы знаков видно, что выражение положительно на интервалах `(-∞, -5)`, `(-4, 2)` и `(2, +∞)`. Таким образом, решением неравенства является объединение этих интервалов:

Решение: `(-∞, -5) ∪ (-4, 2) ∪ (2, +∞)`.

Таким образом, неравенство `(x + 5)^5(x - 2)^2(x + 4)^4 > 0` выполняется при любом значении `x`, не принадлежащем интервалу `[-5, -4]`.