Question

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, сумма второго и четвертого члена прогрессии равна 30.найдите первый член прогрессии

Answer 1

Прогрессия будет такой (bn): 1;3;9;27;...
Первый член прогрессии будет 1)

Answer 2

Пусть \( a \) - это первый член геометрической прогрессии (ГП), а \( r \) - это знаменатель прогрессии.

Тогда первый член ГП - \( a \), второй член - \( ar \), третий член - \( ar^2 \), четвертый член - \( ar^3 \).

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. \( a + ar^2 = 10 \) (сумма первого и третьего членов равна 10) 2. \( ar + ar^3 = 30 \) (сумма второго и четвертого членов равна 30)

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения для \( a \) и \( r \). Давайте сделаем это.

Из первого уравнения:

\[ a(1 + r^2) = 10 \]

Из второго уравнения:

\[ ar(1 + r^2) = 30 \]

Теперь мы можем подставить \( a(1 + r^2) \) из первого уравнения во второе:

\[ 10r = 30 \]

Отсюда:

\[ r = \frac{30}{10} = 3 \]

Теперь, зная значение \( r \), мы можем подставить его обратно в любое из исходных уравнений. Для примера, мы можем использовать первое уравнение:

\[ a + a(3)^2 = 10 \]

\[ a + 9a = 10 \]

\[ 10a = 10 \]

\[ a = 1 \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 1, а знаменатель равен 3.