Question

Найти производную функции) а) y=ctgx^4 б) y=3^x*e^x

Answer 1

a) -4x^3/sin^2(x^4)

б) 3^x*ln3*e^x+e^x*3^x=3^x*e^x(ln3+1)=3^x*e^x*ln(3e)

Answer 2

Конечно, давайте находим производные данных функций.

а) \(y = \cot(x^4)\)

Для нахождения производной данной функции используем цепное правило (chain rule) для композиции функций. Первая функция - \(\cot(x)\), вторая - \(x^4\).

\[ \begin{align*} y &= \cot(x^4) \\ y' &= \frac{d}{dx}(\cot(x^4)) \\ &= \frac{d}{dx}(\cot(u)) \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{где } u = x^4 \\ &= -\csc^2(u) \cdot \frac{d}{dx}(x^4) \\ &= -\csc^2(x^4) \cdot 4x^3. \end{align*} \]

Таким образом, производная функции \(y = \cot(x^4)\) равна \(-4x^3 \csc^2(x^4)\).

б) \(y = 3^x \cdot e^x\)

Для нахождения производной этой функции используем правило произведения.

\[ \begin{align*} y &= 3^x \cdot e^x \\ y' &= \frac{d}{dx}(3^x \cdot e^x) \\ &= \frac{d}{dx}(3^x) \cdot e^x + 3^x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) \\ &= \ln(3) \cdot 3^x \cdot e^x + 3^x \cdot e^x \\ &= (1 + \ln(3)) \cdot 3^x \cdot e^x. \end{align*} \]

Таким образом, производная функции \(y = 3^x \cdot e^x\) равна \((1 + \ln(3)) \cdot 3^x \cdot e^x\).

Answer 3

Давайте найдем производные данных функций по очереди.

Производная функции y = ctgx^4:

Для начала, давайте заменим ctg(x) на 1/tan(x):

y = 1/tan(x^4)

Чтобы найти производную этой функции, мы будем использовать правило дифференцирования частного (quotient rule).

Правило дифференцирования частного гласит: Если у нас есть функция f(x) = g(x)/h(x), то производная f'(x) вычисляется следующим образом:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2

Применим это правило к функции y = 1/tan(x^4):

g(x) = 1 g'(x) = 0 (производная константы равна нулю)

h(x) = tan(x^4) h'(x) = 4x^3 * sec^2(x^4) (производная тангенса - это sec^2(x), а производная x^4 равна 4x^3)

Теперь мы можем вычислить производную функции y = 1/tan(x^4):

y' = (0 * tan(x^4) - 1 * 4x^3 * sec^2(x^4)) / (tan(x^4))^2

y' = -4x^3 * sec^2(x^4) / (tan(x^4))^2

Таким образом, производная функции y = ctgx^4 равна -4x^3 * sec^2(x^4) / (tan(x^4))^2.

Производная функции y = 3^x * e^x:

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило произведения (product rule).

Правило произведения гласит: Если у нас есть функция f(x) = g(x) * h(x), то производная f'(x) вычисляется следующим образом:

f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)

Применим это правило к функции y = 3^x * e^x:

g(x) = 3^x g'(x) = 3^x * ln(3) (производная 3^x равна 3^x * ln(3))

h(x) = e^x h'(x) = e^x (производная e^x равна e^x)

Теперь мы можем вычислить производную функции y = 3^x * e^x:

y' = (3^x * ln(3) * e^x) + (3^x * e^x)

Таким образом, производная функции y = 3^x * e^x равна (3^x * ln(3) * e^x) + (3^x * e^x).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.