Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке: f(x) = x\ x²+1 , [0;2]

Answer 1

Решение смотрите в приложении

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = x^2 + 1 на промежутке [0, 2], мы можем использовать методы дифференциального исчисления, такие как нахождение экстремумов или исследование производной функции. Давайте попробуем исследовать производную функции, чтобы найти экстремумы.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции f(x) = x^2 + 1. Производная функции показывает нам, как функция меняется при изменении аргумента x.

Производная функции f(x) = x^2 + 1 вычисляется с помощью правила дифференцирования для суммы и правила дифференцирования для степеней:

f'(x) = 2x

Нахождение критических точек

Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти точки, где производная функции равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками.

Для нашей функции f(x) = x^2 + 1, мы должны решить уравнение:

2x = 0

Решая это уравнение, мы получаем:

x = 0

Определение экстремумов

Теперь, когда мы знаем критическую точку x = 0, мы можем определить, является ли она максимумом или минимумом, или же не является ни тем, ни другим.

Для этого мы можем использовать вторую производную. Если вторая производная положительна в точке x = 0, то это будет минимум. Если вторая производная отрицательна в точке x = 0, то это будет максимум.

Нахождение второй производной

Вторая производная функции f(x) = x^2 + 1 вычисляется путем дифференцирования производной функции f'(x) = 2x:

f''(x) = 2

Определение типа экстремума

Теперь мы можем определить тип экстремума, используя вторую производную.

В нашем случае, вторая производная f''(x) = 2 всегда положительна на промежутке [0, 2].

Таким образом, мы можем сделать вывод, что наша функция f(x) = x^2 + 1 имеет минимум в точке x = 0 на промежутке [0, 2].

Ответ

На промежутке [0, 2] наименьшее значение функции f(x) = x^2 + 1 достигается при x = 0 и равно 1. Наибольшего значения функция не достигает, так как она является ветвящейся параболой с вершиной в точке (0, 1).