Question

Докажите, что при любом значении а верно неравенство (1+а)^2/2 <=2а

Answer 1

$\frac{(1+a)^2}{2} \leq 2a \ \textless \ =\ \textgreater \ (1+a)^2 \leq 4a \ \textless \ =\ \textgreater \ a^2 + 2a + 1 - 4a \leq 0$ $(a-1)^2 \leq 0 \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ {{a = 1} \atop {a=1}} \right.$ - только при этих значениях а неравенство будет выполняться.

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство: ((1 + a)^2) / 2 <= 2a.

Рассмотрение случая a >= 0:

Пусть a >= 0. Тогда (1 + a) >= 1, так как a >= 0. Поэтому ((1 + a)^2) >= 1^2 = 1.

Делим обе части неравенства на 2, получаем ((1 + a)^2) / 2 >= 1 / 2 = 0.5.

Таким образом, ((1 + a)^2) / 2 >= 0.5.

Теперь рассмотрим вторую часть неравенства: 2a. Поскольку a >= 0, то 2a >= 0.

Таким образом, ((1 + a)^2) / 2 >= 0.5 >= 2a, когда a >= 0.

Рассмотрение случая a < 0:

Пусть a < 0. Тогда (1 + a) < 1, так как a < 0. Поэтому ((1 + a)^2) < 1^2 = 1.

Делим обе части неравенства на 2, получаем ((1 + a)^2) / 2 < 1 / 2 = 0.5.

Теперь рассмотрим вторую часть неравенства: 2a. Поскольку a < 0, то 2a < 0.

Таким образом, ((1 + a)^2) / 2 < 0.5 < 2a, когда a < 0.

Итог:

Мы показали, что неравенство ((1 + a)^2) / 2 <= 2a выполняется как при a >= 0, так и при a < 0.

Заключение: При любом значении a, неравенство ((1 + a)^2) / 2 <= 2a верно.