Question

РЕБЯТ ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ!!!!!!! Решите уравнение: 2sin^2 (x)-8sin(x)cos(x)+7cos^2 (x)=1

Answer 1

2sin²x-8sinxcosx+7cos²x-sin²x-cos²x=0/cos²x
tg²x-8tgx+6=0
tgx=a
a²-8a+6=0
D=64-24=40
a1=(8-2√10)/2=4-√10⇒tgx=4-√10⇒x=arctg(4-√10)+πn,n∈z
a2=4+√10⇒tgx=4+√10⇒x=arctg(4+√10)+πn,n∈z

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам решить данное уравнение. Давайте рассмотрим его пошагово.

У вас есть уравнение: \[2\sin^2(x) - 8\sin(x)\cos(x) + 7\cos^2(x) = 1.\]

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения выражения. Мы можем воспользоваться тождеством \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), чтобы заменить один из членов в уравнении:

\[2(1-\cos^2(x)) - 8\sin(x)\cos(x) + 7\cos^2(x) = 1.\]

Раскроем скобки:

\[2 - 2\cos^2(x) - 8\sin(x)\cos(x) + 7\cos^2(x) = 1.\]

Теперь объединим подобные члены:

\[-2\cos^2(x) + 7\cos^2(x) - 8\sin(x)\cos(x) + 2 = 1.\]

Объединим члены с косинусами:

\[-2\cos^2(x) + 7\cos^2(x) = 8\sin(x)\cos(x) - 1.\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[-9\cos^2(x) = 8\sin(x)\cos(x) - 1.\]

Теперь воспользуемся тождеством \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):

\[-9(1+\tan^2(x)) = 8\tan(x) - 1.\]

Раскроем скобки:

\[-9 - 9\tan^2(x) = 8\tan(x) - 1.\]

Теперь переносим все члены в одну сторону:

\[9\tan^2(x) + 8\tan(x) - 8 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\tan(x)\). Мы можем решить его с использованием дискриминанта. Дискриминант \(D\) для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равен \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае: \[a = 9, \quad b = 8, \quad c = -8.\]

\[D = 8^2 - 4(9)(-8) = 64 + 288 = 352.\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\[\tan(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{352}}{18}.\]

Теперь вычислим значения \(\tan(x)\):

\[\tan(x) = \frac{-8 + \sqrt{352}}{18} \approx 0.547 \quad \text{или} \quad \tan(x) = \frac{-8 - \sqrt{352}}{18} \approx -1.142.\]

Теперь, чтобы найти значения \(x\), возьмем арктангенс от обоих результатов:

\[x = \arctan(0.547) \quad \text{или} \quad x = \arctan(-1.142).\]

Таким образом, у вас есть два решения для уравнения. Надеюсь, это поможет!