Question

Sin =-sin 4x/3 = cos^2 x/3 - sin^2 x/3

Answer 1

$sin\frac{4x}3=cos^2\frac{x}3-sin^2\frac{x}3\\ 2sin\frac{2x}3cos\frac{2x}3=\frac{1+cos\frac{2x}3}{2}-\frac{1-cos\frac{2x}3}{2}\\ 2sin\frac{2x}3cos\frac{2x}3=2cos\frac{2x}3\\ sin\frac{2x}3=1\\ \frac{2x}3=\frac{\pi}2\pm\pi n\\ x=\frac{3\pi}4\pm\frac{3}2\pi n$

Answer 2

Давайте разберём данное уравнение шаг за шагом и убедимся в его верности.

Имеем уравнение: \[ \sin(\theta) = -\sin\left(\frac{4x}{3}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{3}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{3}\right) \]

Заметим, что мы можем использовать тригонометрический тождество \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\), чтобы заменить \(\cos^2\left(\frac{x}{3}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{3}\right)\) на 1: \[ \sin(\theta) = -\sin\left(\frac{4x}{3}\right) + 1 \]

Теперь, давайте рассмотрим угол \(\frac{4x}{3}\). Если \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\), то \(\alpha\) и \(\beta\) могут отличаться на \(2\pi k\), где \(k\) — целое число. Таким образом, мы можем записать: \[ \frac{4x}{3} = \theta + 2\pi k, \] где \(\theta\) — угол, удовлетворяющий уравнению \(\sin(\theta) = -\sin\left(\frac{4x}{3}\right) + 1\).

Далее, мы можем решить это уравнение относительно \(\theta\): \[ \theta = \sin^{-1}\left(-\sin\left(\frac{4x}{3}\right) + 1\right) + 2\pi k \]

Таким образом, угол \(\frac{4x}{3}\) может быть выражен как: \[ \frac{4x}{3} = \sin^{-1}\left(-\sin\left(\frac{4x}{3}\right) + 1\right) + 2\pi k \]

Теперь, чтобы найти значения \(x\), мы можем решить это уравнение для \(x\): \[ x = \frac{3}{4}\left[\sin^{-1}\left(-\sin\left(\frac{4x}{3}\right) + 1\right) + 2\pi k\right] \]

Это уравнение содержит нелинейный тригонометрический компонент, и его решение может быть нетривиальным. Решение зависит от конкретных значений, которые принимает \(\sin^{-1}\left(-\sin\left(\frac{4x}{3}\right) + 1\right)\), и может потребовать использования численных методов.