Question

Найдите область определения функции y= sqrt(14+5x-x^2)/3+3/sqrt(20+x-x^2)

Answer 1

У=√(14+5х-х²)/3+3/√(20+х-х²)
облсть определения это Х
$\left \{ {{15+5x-x²≥0} \atop {20+x-x²\ \textgreater \ 0}} \right.$
14+5x-x²≥0
x²-5x-14≤0
решаем методом интервалов:
x²-5x-14=0
D=25+56=81=9²
X1=(5+9)/2=7
X2=(5-9)/2=-2
        +                 -                  +     
------------------•////////////////•----------------------------------------->
                 -2              7
для данного неравенства x∈[-2;7]

20+x-x²>0
x²-x-20<0
D=1+80=81=9²
x1=(1+9)/2=5
x2=(1-9)/2=-4
                +                -              +
--------------------------¤//////////////¤------------>
                          -4             5
для данного неравенства x∈(-4;5)

объединяем два неравенства и ищем общие промежутки
                                        /////////////////////
----------------------------¤---------•----------¤---------•-------------------------------->
                             \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
                            -4        -2         5        7
 X∈[-2;5)
Ответ: X∈[-2;5)
                           
                            

Answer 2

У=√(14+5х-х²)  +       3       
           3             √(20+х-х²)

{14+5x-x² ≥0
{20+x-x² >0

14+5x-x² ≥0
x²-5x-14≤0
x²-5x-14=0
D=25+14*4=25+56=81
x₁=5-9= -2
      2
x₂=5+9=7
       2
      +             -               +
-------- -2 ----------- 7 ---------
             \\\\\\\\\\\
x∈[-2; 7]

20+x-x² >0
x²-x-20 <0
x²-x-20=0
D=1+4*20=81
x₁=1-9=-4
       2
x₂=1+9=5
        2
    +             -              +
-------- -4 --------- 5 -------------
              \\\\\\\\\\\\
x∈(-4; 5)

{x∈[-2; 7]
{x∈(-4; 5)

                            \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
--------- -4 -------- -2 ---------- 5 ---------- 7 -----------
             \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
x∈[-2; 5)
D(y)=[-2; 5) - область определения функции.

Answer 3

Для определения области определения функции y = sqrt((14 + 5x - x^2)/3) + 3/sqrt(20 + x - x^2), нужно обратить внимание на те значения переменной x, при которых функция будет иметь смысл и не будет делить на ноль.

Область определения функции

1. Для функции sqrt((14 + 5x - x^2)/3), в знаменателе не должно быть отрицательного значения или нуля. Значит, выражение (14 + 5x - x^2)/3 должно быть положительным и неравным нулю. Чтобы найти область определения этой части функции, решим неравенство: (14 + 5x - x^2)/3 > 0.

Для этого сначала решим квадратное уравнение x^2 - 5x - 14 = 0: x = (-(-5) ± sqrt((-5)^2 - 4 * 1 * (-14))) / (2 * 1).

Получаем два корня: x1 ≈ -2.8 и x2 ≈ 7.8.

Теперь построим знаки на числовой прямой, используя эти корни: (-∞, -2.8) ∪ (7.8, +∞).

2. Для функции 3/sqrt(20 + x - x^2), знаменатель не должен равняться нулю. Значит, выражение sqrt(20 + x - x^2) должно быть положительным и неравным нулю. Чтобы найти область определения этой части функции, решим неравенство: sqrt(20 + x - x^2) ≠ 0.

Обратите внимание, что корень извлекается только из неотрицательных чисел. Поэтому, чтобы избежать деления на ноль, нужно, чтобы выражение 20 + x - x^2 было неотрицательным: 20 + x - x^2 ≥ 0.

Решим квадратное уравнение x^2 - x + 20 = 0: x = (-(-1) ± sqrt((-1)^2 - 4 * 1 * 20)) / (2 * 1).

Получаем два корня: x1 ≈ -4.2 и x2 ≈ 5.2.

Теперь построим знаки на числовой прямой, используя эти корни: (-∞, -4.2] ∪ [5.2, +∞).

Общая область определения функции

Чтобы найти общую область определения функции, нужно найти пересечение областей определения каждой из двух частей функции.

Пересекая области определения, получаем: (-∞, -4.2] ∪ [5.2, 7.8) ∪ (7.8, +∞).

Таким образом, область определения функции y = sqrt((14 + 5x - x^2)/3) + 3/sqrt(20 + x - x^2) равна (-∞, -4.2] ∪ [5.2, 7.8) ∪ (7.8, +∞).