Question

Докажите тождество tgt*cos^2t=(tgt+ctgt)^-1

Answer 1

)))))))))))))))))))))))))))))))

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать определения тригонометрических функций и некоторые известные тождества тригонометрии.

Давайте начнем с определения тригонометрических функций:

тангенс (tangent) t = sin t / cos t котангенс (cotangent) ctg t = cos t / sin t

Теперь рассмотрим левую сторону тождества: tgt * cos^2 t

Мы можем выразить cos^2 t в терминах синуса и косинуса, используя известное тождество: cos^2 t = 1 - sin^2 t

Подставим это в выражение: tgt * (1 - sin^2 t)

Теперь давайте рассмотрим правую сторону тождества: (tgt + ctgt)^-1

Мы можем объединить тангенс и котангенс в одном выражении, используя определения: tgt + ctgt = (sin t / cos t) + (cos t / sin t)

Для удобства, давайте найдем общий знаменатель для двух слагаемых: tgt + ctgt = (sin^2 t + cos^2 t) / (cos t * sin t)

Теперь возьмем обратное значение этого выражения: (tgt + ctgt)^-1 = (cos t * sin t) / (sin^2 t + cos^2 t)

Теперь мы можем заметить, что числитель в правой стороне тождества совпадает с выражением в скобках в левой стороне: tgt * (1 - sin^2 t) = (cos t * sin t) / (sin^2 t + cos^2 t)

Таким образом, мы доказали тождество: tgt * cos^2 t = (tgt + ctgt)^-1

Это доказательство основано на использовании определений тригонометрических функций и известных тождеств тригонометрии.