Question

Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии если b2=4 и b4=1сроочно

Answer 1

$b_2=b_1*q=4=4 \\ b_4=b_1*q^3=1 \\ \frac{b_4}{b_2} =q^2= \frac{1}{4} \\ q_1=\frac{1}{2}; q_2=-\frac{1}{2} \\\\ 1) \\ b_1=8 \\ S_6= \frac{b_1*(q^6-1)}{q-1}= \frac{8*((\frac{1}{2})^6-1)}{\frac{1}{2}-1}=-16*( \frac{1}{64}-1)=-16*(-\frac{63}{64})= \frac{63}{4} \\\\ 2) \\ b_1=-8 \\ S_6= \frac{b_1*(q^6-1)}{q-1}= \frac{-8*((-\frac{1}{2})^6-1)}{-\frac{1}{2}-1}= \frac{16}{3} *( \frac{1}{64}-1)=\frac{16}{3}*(-\frac{63}{64})= -\frac{21}{4}$

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как \(b\) и знаменатель прогрессии как \(q\). Тогда второй член будет \(b_2 = b \cdot q\), а четвертый член будет \(b_4 = b \cdot q^3\).

У нас дано, что \(b_2 = 4\) и \(b_4 = 1\). Мы можем использовать эти данные, чтобы найти значения \(b\) и \(q\).

1. \(b \cdot q = 4\) 2. \(b \cdot q^3 = 1\)

Разделим уравнение 2 на уравнение 1:

\(\frac{b \cdot q^3}{b \cdot q} = \frac{1}{4}\)

Упростим:

\(q^2 = \frac{1}{4}\)

Теперь найдем значение \(q\):

\(q = \pm \frac{1}{2}\)

Так как \(q\) не может быть отрицательным, возьмем \(q = \frac{1}{2}\).

Теперь, когда у нас есть значение \(q\), мы можем найти значение \(b\), используя любое из уравнений. Давайте воспользуемся уравнением 1:

\(b \cdot \frac{1}{2} = 4\)

Решим это уравнение:

\(b = 8\)

Теперь у нас есть значения \(b\) и \(q\): \(b = 8\) и \(q = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии с использованием формулы:

\[S_n = \frac{b \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\]

где \(n\) - количество членов прогрессии. В данном случае \(n = 6\).

\[S_6 = \frac{8 \cdot (\frac{1}{2}^6 - 1)}{\frac{1}{2} - 1}\]

\[S_6 = \frac{8 \cdot (\frac{1}{64} - 1)}{-\frac{1}{2}}\]

\[S_6 = \frac{8 \cdot (\frac{1}{64} - 1)}{-\frac{1}{2}}\]

\[S_6 = \frac{8 \cdot (-\frac{63}{64})}{-\frac{1}{2}}\]

\[S_6 = \frac{504}{64} \cdot 2\]

\[S_6 = 7 \cdot 2 = 14\]

Таким образом, сумма шести первых членов геометрической прогрессии равна 14.