Question

Разложить на множители многочлен: a^4+a^2+1

Answer 1

a⁴ + a² + 1 = a⁴ + 2a² + 1 - a² = (a² + 1)² - a² = (a² + 1 - a)*(a² + 1 + a)

Answer 2

Для разложения многочлена на множители, мы должны сначала проверить, есть ли в нем какие-либо общие множители. В данном случае многочлен a^4 + a^2 + 1 не имеет общих множителей, которые могут быть вынесены за скобки.

Тем не менее, мы можем разложить этот многочлен на множители, используя комплексные числа. Для этого мы воспользуемся фактом о том, что сумма кубов комплексных чисел a^3 + b^3 может быть разложена на множители как (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Применим этот факт к нашему многочлену. Заметим, что a^4 + a^2 + 1 можно представить в виде (a^4 + 2a^2 + 1) - a^2, где (a^4 + 2a^2 + 1) является суммой кубов.

Теперь мы можем записать наш многочлен следующим образом:

a^4 + a^2 + 1 = (a^4 + 2a^2 + 1) - a^2 = (a^2 + 1)^2 - a^2

Мы получили квадрат разности (a^2 + 1)^2 - a^2. Теперь мы можем применить еще одно тождество, а именно a^2 - b^2 = (a + b)(a - b), чтобы разложить этот многочлен дальше.

Таким образом, мы можем записать:

(a^2 + 1)^2 - a^2 = [(a^2 + 1) + a][(a^2 + 1) - a] = (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)

Итак, мы разложили исходный многочлен a^4 + a^2 + 1 на множители как (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1).