Question

Упростить выражения:ctg(1 - cos2a) (cos a/1 + sin a + cos a/1 - sin a)sin2a Заранее благодарю.

Answer 1

1)ctg(1 - cos2a) = cot ( 2* 1-cos(2a/2)
2) (cos a/1 + sin a + cos a/1 - sin a)sin2a= (cos(a)+cos(a)*sin(2a)=(2cos(a)*sin(2a)= 2cos(a)sin(2a)

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Давайте шаг за шагом упростим выражение:

1. Раскроем тригонометрические функции в тождествах: \[\ctg(1 - \cos(2a)) + \frac{\cos a}{1 + \sin a + \cos a} \sin(2a) + \frac{\cos a}{1 - \sin a - \cos a} \sin(2a)\]

2. Рассмотрим выражение \(\ctg(1 - \cos(2a))\). Воспользуемся тождеством \(\ctg(x) = \frac{1}{\tan(x)}\): \[\frac{1}{\tan(1 - \cos(2a))} + \frac{\cos a}{1 + \sin a + \cos a} \sin(2a) + \frac{\cos a}{1 - \sin a - \cos a} \sin(2a)\]

3. Теперь рассмотрим \(\tan(1 - \cos(2a))\). Воспользуемся тождеством \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\): \[\frac{1}{\frac{\sin(1 - \cos(2a))}{\cos(1 - \cos(2a))}} + \frac{\cos a}{1 + \sin a + \cos a} \sin(2a) + \frac{\cos a}{1 - \sin a - \cos a} \sin(2a)\]

4. Умножим числитель и знаменатель первого слагаемого на \(\cos(1 - \cos(2a))\): \[\frac{\cos(1 - \cos(2a))}{\sin(1 - \cos(2a))} + \frac{\cos a}{1 + \sin a + \cos a} \sin(2a) + \frac{\cos a}{1 - \sin a - \cos a} \sin(2a)\]

5. Теперь скомбинируем все слагаемые с \(\sin(2a)\): \[\frac{\cos(1 - \cos(2a))}{\sin(1 - \cos(2a))} + \frac{\cos a}{1 + \sin a + \cos a} \sin(2a) + \frac{\cos a}{1 - \sin a - \cos a} \sin(2a)\] \[= \frac{\cos(1 - \cos(2a))}{\sin(1 - \cos(2a))} + \frac{\cos a(1 - \sin a - \cos a) + \cos a(1 + \sin a + \cos a)}{(1 + \sin a + \cos a)(1 - \sin a - \cos a)} \sin(2a)\]

6. Упростим числитель в последнем слагаемом: \[= \frac{\cos(1 - \cos(2a))}{\sin(1 - \cos(2a))} + \frac{\cos a(1 - \cos a)}{(1 - \sin^2 a - \cos^2 a)} \sin(2a)\]

7. Используем тригонометрические тождества \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\) и \(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\): \[= \frac{\cos(1 - (2\cos^2 a - 1))}{\sin(1 - (2\cos^2 a - 1))} + \frac{\cos a(1 - \cos a)}{(1 - 1)} \sin(2a)\] \[= \frac{\cos(2\cos^2 a)}{\sin(2\cos^2 a)} + \cos a(1 - \cos a) \sin(2a)\]

8. Используем тождество \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\): \[= \frac{\cos(2\cos^2 a)}{\sin(2\cos^2 a)} + 2\cos a(1 - \cos a)\cos a\]

9. Упростим числитель в первом слагаемом, используя тождество \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\): \[= \frac{2\cos^2(2\cos^2 a) - 1}{2\sin(2\cos^2 a)} + 2\cos a(1 - \cos a)\cos a\]

10. Упростим выражение в числителе первого слагаемого: \[= \frac{4\cos^4 a - 4\cos^2 a - 1}{2\sin(2\cos^2 a)} + 2\cos a(1 - \cos a)\cos a\]

11. Разделим числитель на 2: \[= \frac{2\cos^4 a - 2\cos^2 a - 1}{\sin(2\cos^2 a)} + 2\cos a(1 - \cos a)\cos a\]

12. Раскроем знаменатель во втором слагаемом: \[= \frac{2\cos^4 a - 2\cos^2 a - 1}{\sin(4a)} + 2\cos a(1 - \cos a)\cos a\]

Таким образом, данное выражение упрощено до \(\frac{2\cos^4 a - 2\cos^2 a - 1}{\sin(4a)} + 2\cos a(1 - \cos a)\cos a\).