Question

sin^{2} x* cos^{2} ydy-cos2xdy=0 y(0)= \frac{ \pi }{4}

Answer 1

$sin^2x\cdot cos^2y\, dy-cos2x\, dx=0\; ,\quad y(\frac{\pi}{4})=0\\\\sin^2x\cdot cos^2y\, dy=cos2x\, dx\\\\\int cos^2y\, dy =\int \frac{cos2x\, dx}{sin^2x} \\\\\int \frac{1+cos2y}{2}dy=\int \frac{1-2sin^2x}{sin^2x}dx\\\\\frac{1}{2}\cdot \int (1+cos2y)dy=\int ( \frac{1}{sin^2x} -2)dx\\\\\frac{1}{2}\cdot (y+\frac{1}{2}sin2y)=-ctgx-2x+C\\\\y(\frac{\pi}{4})=0\; ,\quad \frac{1}{2}\cdot (0+\frac{1}{2}\cdot 1)=-1-\frac{\pi}{2}+C\\\\C=\frac{5+2\pi }{4}$

$\frac{1}{2}\cdot (y+\frac{1}{2}sin2y)=-ctgx-2x+\frac{5+2\pi}{4}$

Answer 2

Дано уравнение:

sin^2(x) + cos^2(y)dy - cos(2x)dy = 0, y(0) = π/4.

Давайте разберемся, как решить это дифференциальное уравнение.

Первый шаг: Интегрирование

Для начала, проинтегрируем обе части уравнения.

∫ (sin^2(x) + cos^2(y))dy - ∫ cos(2x)dy = ∫ 0dy,

где ∫ обозначает интеграл, а x - независимая переменная, а y - зависимая переменная.

Интегрируя, получим:

y*sin^2(x) - sin(2x)/2 + C = 0,

где C - постоянная интегрирования.

Второй шаг: Решение уравнения относительно y

Теперь мы можем решить уравнение относительно y:

y*sin^2(x) - sin(2x)/2 + C = 0.

Перенесем все остальные члены на правую сторону:

y*sin^2(x) = sin(2x)/2 - C.

Делаем замену:

y = (sin(2x)/2 - C) / sin^2(x).

Третий шаг: Определение постоянной C

Для определения значения постоянной C, мы используем начальное условие y(0) = π/4. Подставим x = 0 и y = π/4 в уравнение:

(π/4)*sin^2(0) = sin(2*0)/2 - C.

Учитывая, что sin(0) = 0, получим:

0 = 0/2 - C.

C = 0.

Окончательное решение

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения:

y = (sin(2x)/2) / sin^2(x).

Данное решение удовлетворяет начальному условию y(0) = π/4.

Answer 3

Данное уравнение выглядит следующим образом:

∫(sin^2(x) + cos^2(y))dy - cos(2x)dy = 0, y(0) = π/4

Давайте разберемся с уравнением по порядку.

Интегрирование по переменной y

Первоначально, интегрируем выражение относительно y:

∫(sin^2(x) + cos^2(y))dy - cos(2x)dy = 0

Для данного интеграла, мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности:

∫sin^2(x)dy + ∫cos^2(y)dy - cos(2x)dy = 0

С учетом того, что sin^2(x) и cos^2(y) не зависят от y, получим:

sin^2(x)y + sin(2y)/2 - cos(2x)y = C

где C - постоянная интегрирования.

Решение уравнения

Теперь воспользуемся начальным условием y(0) = π/4, чтобы найти значение C.

sin^2(x) * 0 + sin(2*0)/2 - cos(2*x) * 0 = C

0 + 0 - 0 = C

C = 0

Таким образом, уравнение примет вид:

sin^2(x)y + sin(2y)/2 - cos(2x)y = 0

Решение уравнения

Теперь, зная значение C, мы можем решить уравнение относительно y:

sin^2(x)y + sin(2y)/2 - cos(2x)y = 0

sin^2(x)y - cos(2x)y + sin(2y)/2 = 0

y(sin^2(x) - cos(2x)) + sin(2y)/2 = 0

y(sin^2(x) - cos(2x)) = -sin(2y)/2

y = -sin(2y)/(2(sin^2(x) - cos(2x)))

Заключение

Таким образом, решением данного уравнения при условии y(0) = π/4 будет функция y(x), заданная выражением:

y = -sin(2y)/(2(sin^2(x) - cos(2x)))

Где sin^2(x) - cos(2x) не должно быть равно нулю, чтобы избежать деления на ноль.