Question

Найдите производную функции у=хsqrt(1+х²) и вычислите у ´ (sqrt3)

Answer 1

$y=x \sqrt{1+x^2}= \sqrt{x^2(1+x^2)}= \sqrt{x^2+x^4} \\ \\ y'= \frac{2x+4x^3}{2 \sqrt{x^2+x^4} }= \frac{2x(1+2x^2)}{2x \sqrt{1+x^2} }= \frac{1+2x^2}{ \sqrt{1+x^2} } \\ \\ y'( \sqrt{3} )= \frac{1+2*( \sqrt{3} )^2}{ \sqrt{1+( \sqrt{3} )^2} }= \frac{1+2*3}{ \sqrt{1+3} }= \\ \\ = \frac{7}{2}=3.5$

Answer 2

Для нахождения производной функции `y = x * sqrt(1 + x^2)` и вычисления `y'` при `x = sqrt(3)`, мы можем использовать правило производной произведения функций и правило дифференцирования сложной функции.

Нахождение производной функции

Для начала, давайте разобьем функцию на две составляющие. Пусть `u = x` и `v = sqrt(1 + x^2)`. Тогда наша функция может быть переписана как `y = u * v`.

Теперь мы можем применить правило производной произведения функций, которое гласит: `(u * v)' = u' * v + u * v'`.

Вычисление производных составляющих

Давайте найдем производные `u'` и `v'`.

* `u'` - производная `u = x` по переменной `x` равна 1. * `v'` - производная `v = sqrt(1 + x^2)` по переменной `x` можно найти с помощью правила дифференцирования сложной функции. Пусть `f(x) = sqrt(x)` и `g(x) = 1 + x^2`, тогда `v = f(g(x))`. Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем `v' = f'(g(x)) * g'(x)`. Производная `f'(x) = 1 / (2 * sqrt(x))`, а производная `g'(x) = 2x`. Подставляя значения, получаем `v' = (1 / (2 * sqrt(1 + x^2))) * 2x = x / sqrt(1 + x^2)`.

Применение правила производной произведения

Теперь, используя найденные производные `u' = 1` и `v' = x / sqrt(1 + x^2)`, мы можем применить правило производной произведения, чтобы найти производную `y'`.

`(u * v)' = u' * v + u * v'`

`y' = (1) * (sqrt(1 + x^2)) + (x) * (x / sqrt(1 + x^2))`

`y' = sqrt(1 + x^2) + (x^2) / sqrt(1 + x^2)`

Вычисление значения при x = sqrt(3)

Чтобы вычислить `y'` при `x = sqrt(3)`, мы просто подставляем значение `sqrt(3)` вместо `x` в полученное выражение.

`y' = sqrt(1 + (sqrt(3))^2) + ((sqrt(3))^2) / sqrt(1 + (sqrt(3))^2)`

`y' = sqrt(1 + 3) + 3 / sqrt(1 + 3)`

`y' = sqrt(4) + 3 / sqrt(4)`

`y' = 2 + 3 / 2`

`y' = 2 + 1.5`

`y' = 3.5`

Таким образом, значение производной `y'` при `x = sqrt(3)` равно `3.5`.