Question

Знайти найбільше і найменше значення функції : f(x) = x+4/x на проміжку [1,4]

Answer 1

F`(x)=1-4/x²=(x²-4)/x²=0
x=-2∉[1;4]
x=2∈[1;4]
f(1)=1+4=5 наиб
f(2)=2+2=4наим
f(4)=4+1=5наиб

Answer 2

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції \(f(x) = \frac{x+4}{x}\) на проміжку \([1,4]\), спершу визначимо область визначення функції та знайдемо її похідну.

Функція визначена для всіх значень \(x\), окрім тих, для яких знаменник \(x\) дорівнює нулю. Тобто, функція не визначена для \(x = 0\). Отже, область визначення функції - \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

Тепер знайдемо похідну функції \(f(x)\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x+4}{x}\right)\]

Для знаходження похідної скористаємося правилом диференціювання частки:

\[f'(x) = \frac{(x \cdot 1 - (x+4) \cdot 1)}{x^2} = \frac{-4}{x^2}\]

Тепер знайдемо критичні точки, при яких \(f'(x) = 0\) або не існує. У даному випадку, \(f'(x) = 0\) не має розв'язків, але \(f'(x)\) не існує при \(x = 0\), оскільки у знаменнику маємо \(x^2\), а \(0^2\) дорівнює 0.

Тепер визначимо значення функції на кінцях проміжку \([1,4]\) та у точці, де \(f'(x)\) не існує.

1. При \(x = 1\): \(f(1) = \frac{1 + 4}{1} = 5\) 2. При \(x = 4\): \(f(4) = \frac{4 + 4}{4} = 2\)

Отже, ми маємо три значення функції: \(f(1) = 5\), \(f(4) = 2\), і функція не визначена при \(x = 0\).

Тепер розглянемо межі області визначення, які не включені в проміжок \([1,4]\), але є крайніми точками функції.

3. При \(x \to 0^+\): \(\lim_{{x \to 0^+}} \frac{x+4}{x} = +\infty\) 4. При \(x \to 0^-\): \(\lim_{{x \to 0^-}} \frac{x+4}{x} = -\infty\)

Отже, найбільше значення функції на проміжку \([1,4]\) - це \(5\) (досягається при \(x = 1\)), а найменше значення - \(-\infty\) (досягається при \(x \to 0^-\)).

Отже, максимальне значення функції на проміжку \([1,4]\) - \(5\), і мінімальне значення - \(-\infty\).