Question

При подготовке к зачётам по алгебре и математическому анализу студент выучил по алгебре 27 вопросов из 40, а по математическому анализу – 20 вопрос из 30. Чтобы получить «зачёт» по предмету, студенту необходимо ответить на один вопрос, случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова вероятность, что студент не получит «зачёт» хотя бы по одному из этих двух предметов?

Answer 1

Имеем 4 разных события,
$P_1$ когда оба сдаст
$P_2$ когда алгебру сдаст, а матан не сдаст
$P_3$ когда алгебру не сдаст, а сдаст лишь  матан
$P_4$ когда ничего нездасть
сумма єтих вероятностей должна равнятся 1
$P_1+P_2+P_3+P_4=1$
также сдача алгебры будет $P_a=\frac{27}{40}$,  а не сдача
$Q_a=1-P_a=\frac{13}{40}$
аналогично и с матаном
$P_b=\frac{20}{30}=\frac23;\\ Q_b=1-P_b=\frac13$
Собітия несвязані, поєтому мы имеем
$P_1=P_a\cdot P_b=\frac{27}{40}\cdot\frac23=\frac{27}3\cdot\frac{2}{40}=\frac{9}{20}\\ P_2=P_a\cdot Q_b=\frac{27}{40}\cdot\frac13=\frac{27}{3}\cdot\frac{1}{40}=\frac{9}{40};\\ P_3=Q_a\cdot P_b=\frac{13}{40}\cdot\frac{2}{3}=\frac{13}{3}\cdot\frac{2}{40}=\frac{13}{60};\\ P_4=Q_a\cdot Q_b=\frac{13}{40}\cdot\frac13=\frac{13}{120};\\ P_1+P_2+P_3+P_4=\frac{9}{20}+\\ =\frac{9\cdot6+9\cdot3+13\cdot2+13\cdot1}{120}=\frac{54+27+26+13}{120}=\frac{120}{120}=1$
теперь, вероятность того, что он не сдаст хотябі один зачет, сюда входит и собітие, что он оба не сдаст, то по факту это будет
$P_2+P_2+P_4=\frac{9}{40}+\frac{13}{60}+\frac{13}{120}=\frac{9\cdot3+13\cdot2+13}{120}=\\ =\frac{27+26+13}{120}=\frac{66}{120}=\frac{6\cdot11}{6\cdot20}=\frac{11}{20}$
или же $1-P_1=1-\frac{9}{20}=\frac{20-9}{20}=\frac{11}{20}$

Ответ:$\frac{11}{20}$

Answer 2

Задача

Студент выучил 27 вопросов из 40 по алгебре и 20 вопросов из 30 по математическому анализу. Чтобы получить "зачёт" по предмету, студенту необходимо ответить на один вопрос, случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова вероятность, что студент не получит "зачёт" хотя бы по одному из этих двух предметов?

Решение

Для решения данной задачи, мы можем использовать метод комбинаторики. Вероятность получения "зачёта" по алгебре можно выразить как отношение количества вопросов, которые студент выучил, к общему количеству вопросов по алгебре:

Вероятность получения "зачёта" по алгебре = (количество выученных вопросов по алгебре) / (общее количество вопросов по алгебре)

Аналогично, вероятность получения "зачёта" по математическому анализу можно выразить как отношение количества выученных вопросов по математическому анализу к общему количеству вопросов по математическому анализу:

Вероятность получения "зачёта" по математическому анализу = (количество выученных вопросов по математическому анализу) / (общее количество вопросов по математическому анализу)

Так как студенту необходимо получить "зачёт" хотя бы по одному из предметов, мы можем использовать принцип дополнения. Вероятность не получить "зачёт" хотя бы по одному из предметов будет равна 1 минус вероятность получить "зачёт" по обоим предметам:

Вероятность не получить "зачёт" хотя бы по одному из предметов = 1 - (вероятность получения "зачёта" по алгебре * вероятность получения "зачёта" по математическому анализу)

Теперь, подставим значения в формулу и рассчитаем вероятность:

Вероятность не получить "зачёт" хотя бы по одному из предметов = 1 - (27/40 * 20/30)

Вычислим эту вероятность:

Вероятность не получить "зачёт" хотя бы по одному из предметов = 1 - (0.675 * 0.6667) = 1 - 0.45 = 0.55

Таким образом, вероятность того, что студент не получит "зачёт" хотя бы по одному из этих двух предметов, составляет 0.55 или 55%.