Question

Докажите неравенство: (a + 2)(b + 3)(ab + 1,5) больше или равно 24ab a,b больше или раано 0.

Answer 1

Для каждого множителя используем неравенство Коши
$a+2 \geq 2 \sqrt{2a} \\ b+3 \geq 2 \sqrt{3b} \\ ab+1.5 \geq 2 \sqrt{1,5ab}$

По условию $a,b \geq 0$, то , перемножив неравенства, получим

$(a+2)(b+3)(ab+1.5) \geq 2 \sqrt{2a} \cdot2 \sqrt{3b}\cdot2 \sqrt{1.5ab} =24ab$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для начала, раскроем скобки в данном неравенстве:

(a + 2)(b + 3)(ab + 1,5) ≥ 24ab

Раскроем первые две скобки:

ab + 3a + 2b + 6 ≥ 24ab

Теперь раскроем последнюю скобку:

ab^2 + 1,5a + 3ab + 4,5b + 3ab + 4,5 ≥ 24ab

Упростим выражение:

ab^2 + 6ab + 1,5a + 4,5b + 4,5 ≥ 24ab

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

ab^2 + 6ab - 24ab + 1,5a + 4,5b - 4,5 ≥ 0

ab^2 - 18ab + 1,5a + 4,5b - 4,5 ≥ 0

Теперь нам нужно доказать, что данное неравенство выполняется при условии a, b ≥ 0.

Для этого рассмотрим все члены по отдельности:

ab^2 ≥ 0 - данное неравенство выполняется, так как произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно.

-18ab ≥ 0 - данное неравенство также выполняется, так как произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно.

1,5a ≥ 0 - данное неравенство выполняется, так как произведение неотрицательного числа и положительного числа всегда неотрицательно.

4,5b ≥ 0 - данное неравенство также выполняется, так как произведение неотрицательного числа и положительного числа всегда неотрицательно.

-4,5 ≥ 0 - данное неравенство не выполняется, так как отрицательное число не может быть больше или равно нулю.

Таким образом, мы видим, что все члены в данном неравенстве, кроме -4,5, выполняются при условии a, b ≥ 0. Значит, чтобы неравенство выполнялось, необходимо, чтобы -4,5 было больше или равно нулю. Однако это невозможно, так как -4,5 является отрицательным числом.

Таким образом, данное неравенство не выполняется для любых значений a и b, при условии a, b ≥ 0.