Question

Если 12 член геометрической прогрессии увеличить в 12 раз и сложить с 14 членом, то получится число в 8 раз больше 13 её члена .Найти знаменатель прогрессии.

Answer 1

12b1q^11+b1q^13=9b1q^12

12+q^2=8q

q=6 q=2

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу о геометрической прогрессии подробно.

Пусть \( a \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии.

Так как 12-й член прогрессии \( a_{12} \) можно выразить через формулу для \( n \)-го члена геометрической прогрессии:

\[ a_{n} = a \cdot q^{(n-1)} \]

Теперь, у нас дано, что если увеличить 12-й член прогрессии в 12 раз и сложить с 14-м членом, то получится число в 8 раз больше 13-го члена:

\[ 12 \cdot a_{12} + a_{14} = 8 \cdot a_{13} \]

Мы знаем, что \( a_{12} = a \cdot q^{11} \), \( a_{13} = a \cdot q^{12} \) и \( a_{14} = a \cdot q^{13} \), поэтому мы можем переписать уравнение:

\[ 12 \cdot a \cdot q^{11} + a \cdot q^{13} = 8 \cdot a \cdot q^{12} \]

Теперь можно упростить это уравнение, разделив обе его части на \( a \):

\[ 12q^{11} + q^{13} = 8q^{12} \]

Давайте приведем всё к общему порядку степени \( q \):

\[ q^{11}(12 + q^2) = 8q^{12} \] \[ 12 + q^2 = 8q \] \[ q^2 - 8q + 12 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Разложим его на множители:

\[ (q - 6)(q - 2) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения \( q \): \( q = 6 \) или \( q = 2 \).

Чтобы определить правильный знаменатель прогрессии, нужно вернуться к условию задачи или использовать другие данные, если они есть. Например, если известен первый член прогрессии \( a \), можно определить правильное значение \( q \).