Question

Найти наибольшее целое решение неравенства: (1/4)^(x+1)≥x+6

Answer 1

Слева убывающая функция, справа возрастающая -> решение неравенства (1/4)^(x+1)>=x+6 - множество (-infty, x0], где x0 -- решение уравнения п.ч. = л.ч.

x0 удаётся найти подбором, x0 = -2.

Ответ. -2

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать различные методы, включая графический метод, метод подстановки и аналитический метод. Давайте рассмотрим каждый из них.

Графический метод

Для начала, мы можем построить график функций на обеих сторонах неравенства и найти точку их пересечения. Точка пересечения будет являться наибольшим целым решением неравенства.

Шаг 1: Построим график функции f(x) = (1/4)^(x+1) и график функции g(x) = x + 6 на одной координатной плоскости.

Шаг 2: Найдем точку пересечения графиков функций f(x) и g(x), чтобы найти наибольшее целое решение.

Шаг 3: Определим значение x в точке пересечения и округлим его до наибольшего целого числа. Это будет наибольшее целое решение неравенства.

Метод подстановки

Метод подстановки заключается в том, чтобы пробовать различные значения для x и проверять, выполняется ли неравенство.

Шаг 1: Подставим некоторые значения для x, начиная с целых чисел и двигаясь в направлении увеличения.

Шаг 2: Проверим, выполняется ли неравенство для каждого значения x, и найдем наибольшее целое решение.

Аналитический метод

Аналитический метод заключается в алгебраическом решении неравенства.

Шаг 1: Приведем неравенство к эквивалентному виду.

(1/4)^(x+1) ≥ x + 6

Шаг 2: Возведем обе части неравенства в 4-ую степень, чтобы избавиться от отрицательного показателя.

((1/4)^(x+1))^4 ≥ (x + 6)^4

Шаг 3: Упростим выражение на обеих сторонах неравенства.

(1/4)^(4x+4) ≥ (x + 6)^4

Шаг 4: Приведем обе части неравенства к общему знаменателю и упростим дробь.

1/(4^(4x+4)) ≥ (x + 6)^4

Шаг 5: Обозначим (x + 6) как t для упрощения записи.

1/(4^(4x+4)) ≥ t^4

Шаг 6: Упростим выражение и получим квадратное уравнение.

4^(4x+4) ≤ 1/t^4

Шаг 7: Решим полученное квадратное уравнение и найдем значения t.

Шаг 8: Подставим найденные значения t обратно в выражение (x + 6) и найдем значения x.

Шаг 9: Выберем наибольшее целое значение x в качестве наибольшего целого решения неравенства.

Последний метод, аналитический, может быть достаточно сложным для решения данного неравенства, поскольку требуется решить квадратное уравнение. Однако, графический метод и метод подстановки более просты в использовании и могут дать нам наибольшее целое решение.