Question

1)Дана функция f:R->R, f (x)=x^2+(m^2-4)x+m^2+2m. Найдите действительные значения m при которых вершина параболы совпадает с началом координат 2)Дана функция f (x)=ax+10-a^2. Найдите действительные значения а,при которых x=-3 является нулем f.И график функции пересекает ось Oy

Answer 1

Из условия точка (0;0) является вершиной параболы, т.е. подставим координаты вершины параболы в функцию(х=0 и f(x) = 0)

$m^2+2m=0\\ m(m+2)=0\\ m_1=0;~~~ m_2=-2$

Ответ: при m = 0 и m = -2 вершина параболы совпадает с началом координат.

2) Из условия х=-3 является решением уравнения f(x)=0, т.е. после подстановки получим уравнение

$0=a\cdot(-3)+10-a^2\\ -a^2-3a+10=0\\ a^2+3a-10=0\\ D=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49\\ a_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-3+7}{2\cdot1}=2 ;\\ \\ a_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-3-7}{2\cdot1}=-5$


Ответ: при а = 2 и а = -5.

Answer 2

Задача 1: Найдите значения m, при которых вершина параболы совпадает с началом координат

Для решения этой задачи, мы должны найти значения m, при которых вершина параболы совпадает с началом координат (0, 0).

Функция f(x) дана как f(x) = x^2 + (m^2 - 4)x + m^2 + 2m.

Чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу x = -b/2a, где a и b - коэффициенты перед x в квадратичной функции f(x) = ax^2 + bx + c.

В данном случае, a = 1, b = (m^2 - 4), и c = m^2 + 2m.

Сначала найдем вершину параболы по формуле x = -b/2a:

x = -((m^2 - 4))/(2*1) = -((m^2 - 4))/2 = -((m^2 - 4))/2

Затем, чтобы вершина параболы совпадала с началом координат (0, 0), значения x и y должны быть равны нулю:

x = 0: -((m^2 - 4))/2 = 0 m^2 - 4 = 0 m^2 = 4 m = ±2

Таким образом, действительные значения m, при которых вершина параболы совпадает с началом координат, равны m = 2 и m = -2.

Задача 2: Найдите значения a, при которых x = -3 является нулем функции и график функции пересекает ось Oy

Для решения этой задачи, мы должны найти значения a, при которых x = -3 является нулем функции и график функции пересекает ось Oy (график функции проходит через точку (0, y)).

Функция f(x) дана как f(x) = ax + 10 - a^2.

Для того, чтобы найти значения a, при которых x = -3 является нулем функции, мы должны приравнять f(x) к нулю и решить уравнение:

ax + 10 - a^2 = 0

Подставим x = -3:

a*(-3) + 10 - a^2 = 0

-3a + 10 - a^2 = 0

-a^2 - 3a + 10 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение.

Применим факторизацию:

(-a + 5)(a + 2) = 0

Отсюда получаем два возможных значения a: a = 5 и a = -2.

Теперь, чтобы график функции пересекал ось Oy, нам нужно, чтобы функция f(x) принимала значение y = 0 при x = 0:

f(0) = a*0 + 10 - a^2 = 0

- a^2 + 10 = 0

a^2 = 10

a = ±√10

Таким образом, действительные значения a, при которых x = -3 является нулем функции и график функции пересекает ось Oy, равны a = 5, a = -2, a = √10 и a = -√10.