Question

Sin6x+sin2x+2sin^2x=1

Answer 1

$sin6x+sin2x+2sin^2x=1,\\ 2sin\frac{6x+2x}{2}cos\frac{6x-2x}{2}-1+2sin^2x=0,|*(-1), \backslash \{sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}\}\\ -2sin4xcos2x+1-2sin^2x=0, \backslash \{cos2a=cos^2a-sin^2a=1-2sin^2a=2cos^2a-1 \}$

$\\ cos2x-2sin4xcos2x=0,\\ cos2x(1-2sin4x)=0,\\ \left \ [ {{cos2x=0} \atop {sin4x=1/2}} \right.; \Rightarrow \left \ [ {{2x=\frac{\pi }{2}+\pi k} \atop {4x=(-1)^n\frac{\pi }{6}+\pi n}} \right.; \Rightarrow \left \ [ {{x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2} } \atop {x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4} }} \right.;n,k \in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Используя формулу синуса суммы двух углов, мы можем переписать выражение sin6x + sin2x как sin(4x + 2x).

Также, используя формулу двойного угла, мы можем переписать выражение 2sin^2x как 2(1 - cos^2x).

Теперь, подставим эти выражения в исходное уравнение:

sin(4x + 2x) + 2(1 - cos^2x) = 1.

Упростим это выражение:

sin6x + 2 - 2cos^2x = 1.

Теперь, заменим cos^2x на 1 - sin^2x, используя формулу синуса:

sin6x + 2 - 2(1 - sin^2x) = 1.

Упростим это выражение:

sin6x + 2 - 2 + 2sin^2x = 1.

sin6x + 2sin^2x = -1.

Теперь, перенесем все члены уравнения в одну сторону:

sin6x + 2sin^2x + 1 = 0.

Теперь, у нас есть квадратное уравнение относительно sinx. Мы можем решить его, используя факторизацию или квадратное уравнение:

(sin2x + 1)(sin4x + 1) = 0.

Теперь, мы можем решить каждый множитель отдельно:

sin2x + 1 = 0 или sin4x + 1 = 0.

Для первого уравнения, sin2x = -1. Это уравнение не имеет решений, так как синус не может быть меньше -1.

Для второго уравнения, sin4x = -1. Решение этого уравнения - это x = (2n + 1)π/4, где n - целое число.

Таким образом, решения исходного уравнения sin6x + sin2x + 2sin^2x = 1 - это x = (2n + 1)π/4, где n - целое число.