Question

Решите уравнения. x²+2=2√x²+5

Answer 1

1. Если под корнем только х:

x^2+2=2|x|+5

x^2-2|x|-3=0

1) Пусть х>=0, тогда |x|=x

x^2-2x-3=0

По теореме Виета корни -1 и 3, но -1 не подходит.

2) Пусть х<0, тогда |x|=-x.

x^2+2x-3=0

По теореме Виета корни 1 и -3, но 1 не подходит.

Ответ: 3 и -3

2. Если под корнем х+5:

Сделаем замену: t=x^2+5

t-3=2√t

t^2-6t+9=4t

t^2-10t+9=0

По теореме Виета корни 1 и 9.

x^2+5=1

x^2=-4, что невозможно.

x^2+5=9

x^2=4

Корни 2 и -2

Ответ: 2 и -2

Answer 2

Для решения данного уравнения, сначала приведем его к квадратному виду, а затем применим к нему квадратные корни.

1. Вначале перенесем все члены уравнения в одну сторону: x² - 2√x² - 2 = 5

2. Заметим, что √x² = |x|. Таким образом, уравнение примет вид: x² - 2|x| - 2 = 5

3. Разделим уравнение на 2: (1/2)x² - |x| - 1 = 5/2

4. После этого, уравнение распадается на два случая: a) (1/2)x² - x - 1 = 5/2 b) (1/2)x² + x - 1 = 5/2

5. Решим каждый из этих случаев по отдельности:

a) (1/2)x² - x - 1 = 5/2 Умножим оба выражения на 2, чтобы избавиться от дробей: x² - 2x - 2 = 5

Перенесем все члены в одну сторону: x² - 2x - 7 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта для нахождения корней: D = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(-7) = 4 + 28 = 32

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных действительных корня: x₁ = (-b + √D) / (2a) = (2 + √32) / 2 = 1 + √8 x₂ = (-b - √D) / (2a) = (2 - √32) / 2 = 1 - √8

b) (1/2)x² + x - 1 = 5/2 Умножим оба выражения на 2, чтобы избавиться от дробей: x² + 2x - 2 = 5

Перенесем все члены в одну сторону: x² + 2x - 7 = 0

Используя формулу дискриминанта, находим корни: D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(-7) = 4 + 28 = 32

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных действительных корня: x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √32) / 2 = -1 + √8 x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √32) / 2 = -1 - √8

Таким образом, уравнение x² + 2 = 2√(x² + 5) имеет четыре различных действительных корня: x₁ = 1 + √8 x₂ = 1 - √8 x₃ = -1 + √8 x₄ = -1 - √8