Question

Через середину K медианы BM треугольника АВС и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке P. Найдите отношение полощади треугольника BKP к площади треугольника AMK.

Answer 1

Первое, что надо сделать - найти отношение ВР/СР;

Есть очень много способов, я применяю тот, который используется при доказательстве теоремы Чевы. Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е. 

Итак, ВЕ II AC; 

Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны). 

Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана)

Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;

Итак, СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР

Sacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).

Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ, то 

Sakm = S/4;

Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна

Skpcm = Sacp - Sakm = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;

Ответ 12/5;

 

Я намеренно не объясняю, почему из того, что СР = ВС*2/3; следует, что Sacp = S*2/3;

и там я еще два раза использовал тот же прием при вычислении Sakm. 

Конечно, если высоты треугольников равны, их площади относятся, как стороны, к которым эти высоты проведены. Я тут это раз 100 уже объяснял, и потом - если постоянно это все расписывать - каждое решение разбухнет до размеров учебника по геометрии.

Answer 2

Пусть точки K и M делят медиану BM в отношении K:M = 1:1.

Так как K делит медиану BM пополам, то по свойству медианы, отношение площадей треугольников ABK и MBK также равно 1:1.

Также по свойству медианы, отношение площадей треугольников AKP и MKP равно 1:1.

Таким образом, площади треугольников ABK, MBK, AKP и MKP равны между собой.

Так как треугольник ABK и треугольник AKP имеют общую сторону AK, а треугольник MBK и треугольник MKP имеют общую сторону MK, то отношение площадей треугольников ABK и AKP равно отношению площадей треугольников MBK и MKP.

Так как треугольник ABK и треугольник MBK имеют общую сторону BK, а треугольник AKP и треугольник MKP имеют общую сторону KP, то отношение площадей треугольников ABK и MBK равно отношению площадей треугольников AKP и MKP.

Таким образом, отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK также равно 1:1.