Question

Все значения х , при которых значения выражений корень из (4-х) , корень из (2х-2) , 4 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

все значения х , при которых значения выражений корень из (4-х) , корень из (2х-2) , 4 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии
------------
а)
√(4-x) ,  √(2x-2) , 4  являются   последовательными членами геометрической прогрессии   
 ... a_(n) , a_(n+1) ,a_(n+2 ) ...
a_(n+1)² =a_(n)*a_(n+2) _характеристическое свойство геометрической прогрессии .
{ 4-x >0 ; 2x-2 >0  ; (√(2x-2) )² = 4*√(4-x) .⇔{ 1 < x < 4  ; 2x -2 = 4*√(4-x) . ⇔ {  x∈ (1 ; 4)   ;  x -1 = 2*√(4-x) . ⇔ { x∈ (1 ; 4)  ;  (x -1)² = 4*(4-x) .
(x -1)² = 4*(4-x) ;
x² -2x +1 = 16 - 4x ;
x² +2x - 15 =0 ;  * * *  x = -1±√(1+15)   * * *
x₁ = -1 - 4 = -5  ∉ (1,4)  ;
x₂ = -1+4 =  3 .      * * * √(4-x) =1 ,  √(2x-2) =2  , 4   * * *

ответ : 3     
--------------------
б)  
...√(2x-2)  , √(4-x) ,  4 ...
(√(4-x) )² =4√(2x-2)  ;
4 - x  = 4√(2x-2) ;
16 -8x +x² =16(2x-2) ;
x² - 40x +48 =0 ;
x =20 ±√(20² -48) ;
x =20 ±4√22  ;
x₁ =20 + 4√22   ∉ (1,4)  ;
x₂ = 20 -  4√22 ≈ 1,24 . 

ответ : 4(5  -√22 ).    
-----
в)  
...√(2x-2)  , 4  ,  √(4-x)...  * * * или ...√(4-x) , 4  , .√(2x-2) ...
4² = √(2x-2) *√(4-x) ⇔ 16 = -2x² +10x  -8 ⇔ 2x² -10x  +24 =0 ⇔ x² -5x  +12 =0 
D =5² -4*12 =25 -48 = -23 <0 _не имеет действительных корней.

Answer 3

Для того чтобы значения выражений корень из (4-х), корень из (2х-2) и 4 являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы их отношения образовывали геометрическую прогрессию.

Пусть корень из (4-х) обозначим как a, корень из (2х-2) как ar, а 4 как ar^2, где r - коэффициент прогрессии.

Тогда получаем следующее уравнение: ar^2 = 4 ar = √(2х-2) a = √(4-х)

Подставим a и ar в уравнение ar^2 = 4: (√(4-х))r^2 = 4

Решим это уравнение:

(4-х)r^4 = 16 r^4 = 4/(4-х)

Из этого уравнения можно найти все возможные значения r, при которых будет выполняться условие задачи.

Заметим, что r^4 должно быть положительным числом, поэтому 4/(4-х) также должно быть положительным числом. Это возможно только если 4-х > 0, то есть x < 4.

Рассмотрим два случая:

1) Если x = 4, то 4/(4-х) = 4/0, что не определено. Значит, x не может быть равно 4.

2) Если x < 4, то 4/(4-х) будет положительным числом.

Таким образом, все значения x, при которых значения выражений корень из (4-х), корень из (2х-2) и 4 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, будут такие, что 0 < x < 4.