Question

Помогите решить неравенство 2cos^2x + корень2sinx > 2

Answer 1

В вложении..........

Answer 2

Давайте решим это неравенство поэтапно.

Начнем с переписывания неравенства с использованием тригонометрических тождеств. Заметим, что cos^2(x) = 1 - sin^2(x). Тогда наше неравенство можно переписать следующим образом:

2(1 - sin^2(x)) + √2sin(x) > 2

Раскроем скобки:

2 - 2sin^2(x) + √2sin(x) > 2

Теперь приведем все слагаемые на одну сторону и упростим:

-2sin^2(x) + √2sin(x) > 0

Теперь давайте решим это неравенство методом анализа знаков.

1. Найдем значения, при которых левая сторона равна нулю:

-2sin^2(x) + √2sin(x) = 0

Можно вынести sin(x) за скобку:

sin(x)(-2sin(x) + √2) = 0

Тогда получаем два возможных значения sin(x):

sin(x) = 0 или -2sin(x) + √2 = 0

2. Проверим знаки между найденными значениями sin(x) и за пределами этих значений.

a) Если sin(x) = 0, то левая сторона неравенства равна 0, и неравенство не выполняется.

b) Если -2sin(x) + √2 = 0, то sin(x) = √2/2, что соответствует x = π/4 + kπ, где k - целое число. Подставим это значение в неравенство:

-2sin^2(π/4 + kπ) + √2sin(π/4 + kπ) > 0

-2(√2/2)^2 + √2(√2/2) > 0

-1 + 1 > 0

Неравенство выполняется при x = π/4 + kπ.

3. Определим знаки между найденными значениями sin(x) и за пределами этих значений. Так как sin(x) имеет значения от -1 до 1, неравенство меняет знак в следующих точках:

sin(x) = 0 и sin(x) = √2/2

Теперь разделим область значений sin(x) на интервалы и определим знаки:

a) Если sin(x) < 0, то -2sin^2(x) + √2sin(x) > 0, так как у нас будет два отрицательных слагаемых.

b) Если 0 < sin(x) < √2/2, то -2sin^2(x) + √2sin(x) < 0, потому что первое слагаемое будет отрицательным, а второе положительным.

c) Если sin(x) > √2/2, то -2sin^2(x) + √2sin(x) > 0, так как у нас будет два положительных слагаемых.

Решение:

Таким образом, решение неравенства 2cos^2(x) + √2sin(x) > 2 выглядит следующим образом:

x = π/4 + kπ, где k - целое число, и sin(x) > √2/2.

Пожалуйста, обратите внимание, что это только одно из возможных решений. Неравенство может иметь и другие решения в зависимости от заданного диапазона значений x.