Question

Найти произведение корней уравнения: log₂ (x+1)+ log₂ (x+2) = 1 варианты ответов: 1)2; 2)1; 3)-1; 4)0; 5)2

Answer 1

Lga+lgb=lgab
ОДЗ: x+1>0; x+2>0⇒x>-1
log2(x+1)(x+2)=1⇒log2(x^2+3x+2)=1⇒x^2+3x+2=2⇒
x^2+3x=0⇒x(x+3)=0⇒
x1=0
x2=-3∉ОДЗ⇒
уравнение имеет один корень
Ответ: 0

Answer 2

Для решения уравнения \( \log_2(x + 1) + \log_2(x + 2) = 1 \) давайте воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Свойство сложения логарифмов: \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)\).

Применим это свойство к уравнению:

\[ \log_2(x + 1) + \log_2(x + 2) = \log_2((x + 1)(x + 2)) = 1 \]

Теперь преобразуем уравнение, избавившись от логарифма:

\[ (x + 1)(x + 2) = 2^1 \]

Упростим уравнение:

\[ (x + 1)(x + 2) = 2 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 3x + 2 = 2 \]

Приравняем к нулю:

\[ x^2 + 3x + 2 - 2 = 0 \]

\[ x^2 + 3x = 0 \]

\[ x(x + 3) = 0 \]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x = 0 \) и \( x = -3 \).

Теперь проверим, соответствуют ли они условиям задачи:

1. Подставим \( x = 0 \) в исходное уравнение:

\[ \log_2(0 + 1) + \log_2(0 + 2) = \log_2(1) + \log_2(2) = 0 + 1 = 1 \]

Условие выполняется.

2. Подставим \( x = -3 \) в исходное уравнение:

\[ \log_2(-3 + 1) + \log_2(-3 + 2) \]

Логарифм от отрицательного числа не определен, поэтому \( x = -3 \) не является корнем уравнения.

Таким образом, единственным корнем уравнения является \( x = 0 \).

Ответ: Вариант 4) \( x = 0 \).