Question

Даны квадрат и прямоугольник с равными диагоналями. Доказать, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата.

Answer 1

a,b стороны прямоугольника d диагональ , тогда a^2+b^2=d^2

Если x сторона квадрата , то

2x^2=d^2

Доказать

S1<S2 или a*b<x^2

(a+b)^2-d^2=2a*b=2S1

2x^2=d^2=2S2

(a+b)^2-d^2<d^2

(a+b)^2<2d^2=2(a^2+b^2)

a^2+b^2+2ab<2a^2+2b^2

(a-b)^2>0

Что верно , откуда S1<S2

Answer 2

Чтобы доказать, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата, который имеет равные диагонали, мы можем использовать геометрические свойства этих фигур.

Давайте обозначим сторону квадрата как "a", а стороны прямоугольника как "b" и "c". Также, диагонали квадрата будем обозначать как "d".

Площадь квадрата

Площадь квадрата равна сторона, возведенная в квадрат. То есть, площадь квадрата равна a^2.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. То есть, площадь прямоугольника равна b * c.

Равенство диагоналей

У нас есть информация, что диагонали у квадрата и прямоугольника равны. Это означает, что d = d.

Доказательство

Чтобы доказать, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата, нам нужно сравнить выражения для площадей этих фигур.

Из равенства диагоналей, мы можем получить следующее: a^2 + a^2 = b^2 + c^2

Так как a^2 + a^2 = 2a^2 и b^2 + c^2 > 0 (так как площадь не может быть отрицательной), мы можем переписать это неравенство следующим образом: 2a^2 > b^2 + c^2

Теперь, давайте сравним выражения для площадей: a^2 > b^2 + c^2

Мы знаем, что площадь квадрата (a^2) больше, чем сумма площадей сторон прямоугольника (b^2 + c^2). Следовательно, площадь прямоугольника меньше площади квадрата.

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата, который имеет равные диагонали.