Question

Найдите интегральную кривую уравнения y`` + 9y = 0, которая проходит через точку М(пи; -1) и касается в этой точке прямой y + 1 = x - пи. Пожалуйста, решите самым примитивным способом, т. к. это 11 класс, а не институт. Задача простая, тема - дифуравнения второго порядка.

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное. Осуществив замену Эйлера $y=\exp\{kx\}$, получим следующее характеристическое уравнение
$k^2+9=0;~~~~~\Rightarrow~~~~~~~ k=\pm3i$

Общее решение однородного уравнения: $y=C_1\cos 3x+C_2\sin3x$ и проходит через точку М. То есть, подставляя x=π и у=-1, получим

$-1=-C_1;~~~~~\Rightarrow~~~ C_1=1$

Найдем первую производную общего решения: $y'=-3C_1\sin3x+3C_2\cos3x$
Пользуясь геометрическим смыслом производной, имеем, что

$1=-3C_2;~~~~~\Rightarrow~~~~ C_2=- \frac{1}{3}$


$y=\cos3x-\frac{1}{3} \sin3x$ - искомая интегральная кривая

Answer 2

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка. Чтобы найти интегральную кривую, которая проходит через точку М(пи; -1) и касается прямой y + 1 = x - пи, мы можем использовать метод вариации постоянной.

1. Начнем с решения однородного уравнения y'' + 9y = 0. Для этого предположим, что y имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение и получим следующее характеристическое уравнение:

r^2 + 9 = 0

Решим это уравнение и найдем два комплексных корня: r1 = 3i и r2 = -3i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C1*cos(3x) + C2*sin(3x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку у нас есть точка М(пи; -1), мы можем использовать ее, чтобы найти значения постоянных C1 и C2. Подставим x = пи и y = -1 в общее решение однородного уравнения:

-1 = C1*cos(3*пи) + C2*sin(3*пи)

Учитывая, что cos(3*пи) = -1 и sin(3*пи) = 0, получим:

-1 = -C1

Отсюда следует, что C1 = 1.

3. Теперь найдем производную y' и подставим x = пи, чтобы найти C2:

y' = -3C1*sin(3x) + 3C2*cos(3x)

y'(пи) = -3C1*sin(3*пи) + 3C2*cos(3*пи)

Учитывая, что sin(3*пи) = 0 и cos(3*пи) = -1, получим:

y'(пи) = 3C2

Поскольку у нас есть касание с прямой y + 1 = x - пи, то y'(пи) должно быть равно 1. Поэтому:

3C2 = 1

Отсюда следует, что C2 = 1/3.

4. Теперь, зная значения C1 и C2, мы можем записать частное решение неоднородного уравнения:

y_p = cos(3x) + (1/3)*sin(3x)

5. Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

y = y_h + y_p = C1*cos(3x) + C2*sin(3x) + cos(3x) + (1/3)*sin(3x)

Подставляя значения C1 = 1 и C2 = 1/3, получаем:

y = cos(3x) + (1/3)*sin(3x) + cos(3x) + (1/3)*sin(3x)

Упрощая, получаем:

y = 2*cos(3x) + (2/3)*sin(3x)

Таким образом, интегральная кривая уравнения y'' + 9y = 0, которая проходит через точку М(пи; -1) и касается прямой y + 1 = x - пи, имеет уравнение y = 2*cos(3x) + (2/3)*sin(3x).

Ответ: Интегральная кривая уравнения y'' + 9y = 0, проходящая через точку М(пи; -1) и касающаяся прямой y + 1 = x - пи, имеет уравнение y = 2*cos(3x) + (2/3)*sin(3x).