Question

Найти интервалы монотонности функции. точки экстремума функции y=2x^3+3x^2-12x

Answer 1

Находим производнуюПриравниваем к 0x1=2 x2=-1- это и есть точки экстремумаОтвет: 2, -1

Answer 2

Для нахождения интервалов монотонности и точек экстремума функции y = 2x^3 + 3x^2 - 12x, нужно проанализировать ее производную. Производная функции позволяет нам определить, где функция возрастает или убывает, а также найти точки, в которых функция достигает экстремумов.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y = 2x^3 + 3x^2 - 12x. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности и сложим их:

y' = (d/dx) (2x^3) + (d/dx) (3x^2) - (d/dx) (12x)

Вычислим производные каждого слагаемого:

(d/dx) (2x^3) = 6x^2 (d/dx) (3x^2) = 6x (d/dx) (12x) = 12

Теперь сложим полученные производные:

y' = 6x^2 + 6x - 12

Определение интервалов монотонности

Чтобы определить интервалы монотонности функции, необходимо проанализировать знак производной на различных участках области определения функции. Знак производной будет указывать на направление изменения функции на соответствующем интервале.

Для этого решим неравенство y' > 0, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает, и неравенство y' < 0, чтобы найти интервалы, на которых функция убывает.

Решим неравенство y' > 0:

6x^2 + 6x - 12 > 0

Разложим это неравенство на множители:

6(x - 1)(x + 2) > 0

Теперь найдем значения x, при которых неравенство выполняется:

x - 1 > 0 => x > 1 x + 2 > 0 => x > -2

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (1, +∞).

Решим неравенство y' < 0:

6x^2 + 6x - 12 < 0

Разложим это неравенство на множители:

6(x - 1)(x + 2) < 0

Теперь найдем значения x, при которых неравенство выполняется:

x - 1 < 0 => x < 1 x + 2 < 0 => x < -2

Таким образом, функция убывает на интервале (-2, 1).

Нахождение точек экстремума

Точки экстремума функции - это точки, в которых функция достигает локального максимума или минимума. Для нахождения этих точек, нужно проанализировать значения производной функции и найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует.

Решим уравнение y' = 0:

6x^2 + 6x - 12 = 0

Мы можем разделить это уравнение на 6, чтобы упростить его:

x^2 + x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x - 1)(x + 2) = 0

Таким образом, получаем две точки экстремума: x = 1 и x = -2.

Итоговый ответ

Интервалы монотонности функции y = 2x^3 + 3x^2 - 12x:

- Функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (1, +∞). - Функция убывает на интервале (-2, 1).

Точки экстремума функции y = 2x^3 + 3x^2 - 12x:

- Минимум при x = -2. - Максимум при x = 1.