Question

Помогите решить столбиком Найти частное и остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) , если : P(x)=4x^7-x^5+3x^4-3x^3+5x^2-2x Q(x)=x3-x+1

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) нужно использовать алгоритм деления многочленов столбиком. Этот алгоритм напоминает деление чисел в столбик. Давайте разберемся с вашим примером:

\[ P(x) = 4x^7 - x^5 + 3x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 2x \] \[ Q(x) = x^3 - x + 1 \]

1. Начнем с того, чтобы разделить старший член P(x) на старший член Q(x). В данном случае \( \frac{4x^7}{x^3} = 4x^4 \). 2. Умножим весь многочлен Q(x) на полученный частное и вычтем его из P(x). 3. Повторяем шаги 1-2 с полученным остатком, до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Шаг 1:

            4x^4
        ____________________________
x^3 - x + 1 | 4x^7 - x^5 + 3x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 2x
            - (4x^7 - 4x^5 + 4x^4)
        ____________________________
                   3x^5 - x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 2x

Шаг 2:

Теперь повторим шаги для полученного остатка \(3x^5 - x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 2x\):

                   3x^2
        ____________________________
x^3 - x + 1 | 3x^5 - x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 2x
            - (3x^5 - 3x^3 + 3x^2)
        ____________________________
                       2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x

Шаг 3:

Теперь повторим шаги для полученного остатка \(2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x\):

                       2x^4
        ____________________________
x^3 - x + 1 | 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x
            - (2x^4 - 2x^2 + 2x)
        ____________________________
                           - x^3 + 2x^2 - 4x

Шаг 4:

Теперь повторим шаги для полученного остатка \(- x^3 + 2x^2 - 4x\):

                       - x
        ____________________________
x^3 - x + 1 | - x^3 + 2x^2 - 4x
            - (- x^3 + x)
        ____________________________
                           x^2 - 4x

Теперь остаток \(x^2 - 4x\) имеет степень меньше степени делителя \(x^3 - x + 1\), поэтому мы завершаем процесс.

Итак, частное: \(4x^4 + 3x^2 - x\) и остаток: \(x^2 - 4x\). Таким образом, деление многочлена \(P(x)\) на \(Q(x)\) дает частное \(4x^4 + 3x^2 - x\) и остаток \(x^2 - 4x\).