Question

Определить высоту в метрах открытого бассейна с квадратным дном, объем которого равен 32 м², такого, чтоб на облицовку его стен и дна расходы на материал были наименьшими.

Answer 1

Басейн представляет собой прямоугольный параллелепипед, в основании квадрат. Пусть сторона основания бассейна (сторона квадрата) равна а м, тогда площадь основания равна $a^2$ кв.м, высота бассейна равна $\frac{32}{a^2}$
Площадь стен и дна бассейна равна $4*a*\frac{32}{a^2}+a^2=\frac{128}{a}+a^2$

Рассмотрим функцию $f(a)=\frac{128}{a}+a^2, a>0$
$f'(a)=-\frac{128}{a^2}+2a$
$f'(a)=0$
$2a-\frac{128}{a^2}=0$
$2a^3=128;a^3=64;a=\sqrt[3]{64}=4$

$f'(a)>0;$
$2a-\frac{128}{a^2}>0$
при $a>0$:$a^2>0$
$2a^3-128>0$
$a>4$

$f'(a)<0$
$0<a<4$

значит при $a=4$ имеем минимум
высота при этом равна $\frac{32}{4^2}=2$