Question

Решить методом математической индукции: -1+3-5+...+((-1)^n)*(2n-1)=((-1)^n)*n

Answer 1

$-1+3-5+,,,+((-1)^n)*(2n-1)=((-1)^n)*n$

1) Пусть n=1

$((-1)^1*(2*1-1)=((-1)^1*1) (-1*1)=(-1*1) -1=-1$

Равенство верное

2) Предположим что равенство верное при n=k

$-1+3-5+...+((-1)^k*(2k-1))=((-1)^k*k)$

Докажем что оно верно для n=k+1

Рассмотрим  левую часть равенства:
$-1+3-5+...+((-1)^k*(2k-1))+((-1)^{k+1}*(2(k+1)-1))= =(-1)^k*k+(-1)^k*(-1)*(2k+2-1)=(-1)^k*k-(-1)^k(2k+1)= =(-1)^k*(k-(2k+1))=(-1)^k*(k-2k-1)=-(-1)^k(k+1)$

Рассмотрим правую часть равенства:

$(-1)^{k+1}*(k+1)=(-1)^k*(-1)*(k+1)=-(-1)^k*(k+1)$

Правая и левая части равны.

Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при k вытекает, что оно справедливо и при  k + 1, значит оно справедливо при любом натуральном n, что и требовалось доказать.