Question

Найти все целые значения n - при которых число: n^2+19n+92 - является квадратом

Answer 1

$n^2+19n+92=(n^2+18n+81)+n+11=(n+9)^2+(n+9)+2=$

$=||n+9=a||= a^2+a+2=b.$

Квадратом числа a это выражение является при a= - 2 (при n= - 11)

Посмотрим, при каких a это выражение есть квадрат следующего после a целого числа:

$a^2+a+2=(a+1)^2; a^2+a+2=a^2+2a+1;\ a=1\Rightarrow n=-8$.

Квадрат предыдущего числа получается, если $a^2+a+2=(a-1)^2;\ 3a=-1$ - не подходит

Покажем, что других случаев нет. 

1) a=0 - не подходит, так как 2 не является полным квадратом.

2) a=1 (то есть n= - 8) подходит; 4=2 в квадрате.

3) a=2, то есть b=8 - не является полным квадратом.

4) a=3, то есть b=9+3+2=9+5 - не дотягивает до квадрата следующего после a=3 числа.

5) Дальше еще хуже - при увеличении a на 1 расстояние между квадратом a и b увеличивается на 1, а расстояние между квадратом a и квадратом (a+1) увеличивается на 2

6) a= - 1 - не подходит

7) a= - 2 - этот случай мы уже раньше признали годным

8) a= - 3 (b=9-1=8) - не подходит

9) a= - 4 (b=16-2=14) - не подходит

10) Снова наблюдаем ту же картину: при уменьшении a на 1 (a= - 5; - 6;...) расстояние между b и квадратом a увеличивается на 1, а расстояние между квадратом a и квадратом (a+1) увеличивается на 2. Поэтому других решений нет

Ответ: - 11; -8