Question

Помогите решить пожалуйста

Answer 1

Чтобы упростить себе жизнь сделаем замену у=2ˣ, y>0, тогда 4ˣ=(2²)ˣ=(2ˣ)²=y²
Получаем неравенство
$\frac{y+8}{y-8} + \frac{y-8}{y+8} \geq \frac{2^4y+96}{y^2-64}$
Решаем
$\frac{(y+8)^2}{(y-8)(y+8)} + \frac{(y-8)^2}{(y+8)(y-8)} - \frac{16y+96}{y^2-64} \geq 0 \\ \frac{(y+8)^2+(y-8)^2-16y-96}{(y-8)(y+8)} \geq 0 \\ \frac{y^2+16y+64+y^2-16y+64-16y-96}{(y-8)(y+8)} \geq 0 \\ \frac{2y^2-16y+32}{(y-8)(y+8)} \geq 0$
$2\frac{y^2-8y+16}{(y-8)(y+8)} \geq 0 \\ \frac{(y-4)^2}{(y-8)(y+8)} \geq 0$
Это дробь равна нулю только когда ее числитель равен нулю, то есть в точке y=4
Вспоминаем, что y по условию всегда положительный, значит у+8 всегда >0.
Таким образом дробь может принимать отрицателтные значения только когда y-8 <0, то есть у <8
Значит y∈ [4;4]∪(8;+∞)
x∈[2;2]∪(3;+∞)