Question

Sin2x*cos4x=sin7x*sin9x ?

Answer 1

Sin(2x)*cos(4x) = sin(7x)*sin(9x)
Наша задача - преобразовать это уравнение так, чтобы слева было произведение, а справа 0.
Есть формулы:
$sin(a)*cos(b)= \frac{1}{2}*[sin(a-b)+sin(a+b)] \\ sin(a)*sin(b)= \frac{1}{2}*[cos(a-b)-cos(a+b)]$
Подставляем:
$\frac{1}{2}*[sin(2x-4x)+sin(2x+4x)]= \frac{1}{2}*[cos(2x-4x)-cos(2x+4x)]$
Сокращаем:
-sin(2x) + sin(6x) = cos(2x) - cos(6x)
sin(6x) + cos(6x) = sin(2x) + cos(2x)
Есть еще формулы:
$sin(a) + cos(a) = \sqrt{2}*sin(a + pi/4) \\ sin(a) - sin(b) = 2sin \frac{a-b}{2}*cos \frac{a+b}{2}$
Подставляем:
√2*sin(6x + pi/4) = √2*sin(2x + pi/4)
sin(6x + pi/4) - sin(2x + pi/4) = 0
$2sin \frac{6x+pi/4-2x-pi/4}{2}*cos \frac{6x+pi/4+2x+pi/4}{2}=0$
$sin \frac{6x-2x}{2}*cos \frac{6x+2x+pi/2}{2}=0$
Это уравнение имеет два решения
1) sin(2x) = 0
2x = pi*k
x1 = pi/2*k

2) cos(4x + pi/4) = 0
4x + pi/4 = pi/2 + pi*k
4x = pi/4 + pi*k
x2 = pi/16 + pi/4*k