Question

Решите систему уравнений 10x-5y-3z=-9 6x+4y-5z=-1 3x-4y-6z=-23

Answer 1

10x-5y-3z=-9 
6x+4y-5z=-1 
3x-4y-6z=-23
РЕШИМ МЕТОДОМ ГАУСА
составим матрицу
10  -5   -3   -9
6    4     -5  -1
3   -4     -6  -23  
первую строку делим на 10
1   -0,5  -0,3   -0,9
6    4     -5     -1
3   -4     -6     -23  
из второй строчки вычтем первую, умноженную на 6
1   -0,5  -0,3   -0,9
0    7   -3,2     4,4
3   -4     -6     -23
Из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3
 1   -0,5  -0,3   -0,9
0     7    -3,2    4,4
0    -2,5  -5,1   -20,3
Разделим вторую строку на 7
1   -0,5  -0,3      -0,9
0    1    -16/35  22/35
0   -2,5  -5,1      -20,3
прибавим к первой строке вторую, умноженной на 0,5
 1    0     -37/70   -41/70
0     1     -16/35   22/35
0    -2,5   -5,1      -20,3
к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 2,5
1    0     -37/70     -41/70
0    1     -16/35      22/35
0    0     -437/70  -1311/70
разделим третью строку на -437/70
1    0     -37/70     -41/70
0    1     -16/35      22/35
0    0          1             3
к первой строке прибавим третью, умноженную на 37/70
1    0          1            1
0    1     -16/35      22/35
0    0          1             3
К второй строке прибавим третью, умноженную на 16/35
1    0   1   1
0    1   0   2
0    0   1   3
Откуда получили что х=1, у=2,  z=3

НЕОБХОДИМО ОТДЕЛИТЬ ЛИНИЕЙ МАТРИЦУ НЕИЗВЕСТНЫХ ОТ ДОБАВЛЕННОЙ МАТРИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ПРАВОЙ ЧАСТИ

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно использовать метод Гаусса или метод Крамера.

Метод Гаусса: 1) Преобразуем систему уравнений так, чтобы уравнение с переменной, которую мы хотим найти, было выражено через все остальные переменные. Перепишем систему следующим образом:

10x - 5y - 3z = -9 (уравнение 1) 6x + 4y - 5z = -1 (уравнение 2) 3x - 4y - 6z = -23 (уравнение 3)

2) Избавляемся от переменной x в уравнениях 2 и 3.

Умножаем уравнение 1 на 3 и уравнение 2 на 10, затем складываем их: 30x - 15y - 9z = -27 60x + 40y - 50z = -10

Прибавляем к уравнению 3, умноженному на -2: 60x + 80y + 120z = 46

Полученная система: 30x - 15y - 9z = -27 (уравнение 4) 60x + 40y - 50z = -10 (уравнение 5) 60x + 80y + 120z = 46 (уравнение 6)

3) Избавляемся от переменной y в уравнениях 4 и 5.

Умножаем уравнение 4 на 4 и уравнение 5 на 2, затем вычитаем одно уравнение из другого: 120x - 60y - 36z = -108 120x + 80y - 100z = -20

Полученное уравнение после вычитания: -140y + 64z = -88 (уравнение 7)

Прибавляем к уравнению 6, умноженному на 7: 60x + 560y + 760z = 334

Полученная система: 120x - 60y - 36z = -108 (уравнение 8) -140y + 64z = -88 (уравнение 7) 60x + 560y + 760z = 334 (уравнение 9)

4) Решаем уравнение 7 относительно y:

-140y + 64z = -88

y = (64z - 88) / 140

Методом обратной подстановки подставим данное выражение для y в уравнения 8 и 9.

Уравнение 8: 120x - 60*((64z - 88) / 140) - 36z = -108

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

120x - (64/140)*60z + 88/140*60 - 36z = -108

120x - (32/7)*6z + 88/7*6 - 36z = -108

120x - (192/7)z + 88/7*6 = -108

120x - (192/7)z + 528/7 = -108

120x - (192/7)z = -636/7

Уравнение 9: 60x + 560*((64z - 88) / 140) + 760z = 334

60x + (64/140)*560z - 88/140*560 + 760z = 334

60x + (32/7)*4z - 88/7*4 + 760z = 334

60x + (128/7)z - 32/7 + 760z = 334

60x + (128/7 + 5320/7)z = 334 + 32/7

60x + (5448/7)z = (2344/7 + 32/7)

60x + (5448/7)z = (2376/7)

Таким образом, получилась система уравнений: 120x - (192/7)z = -636/7 (уравнение 10) 60x + (5448/7)z = (2376/7) (уравнение 11)

Теперь можно применить метод Крамера.

Метод Крамера: Для использования метода Крамера необходимо вычислить определители матрицы системы и определители матриц, полученных заменой столбца свободных членов на столбец коэффициентов перед переменными.

Матрица коэффициентов: | 10 -5 -3 | | 6 4 -5 | | 3 -4 -6 |

Определитель матрицы коэффициентов det(A) = 10*(-4*(-6))-(-3)*(4)*(3)-10*(-5)*(3)+(-5)*(3)*(-6)-(-3)*(6)*(-5)+(-4)*(10)*(4) = -158

Матрица, полученная заменой столбца свободных членов на столбец коэффициентов перед x: | -9 -5 -3 | | -1 4 -5 | |-23 -4 -6 |

Определитель матрицы = det(Ax) = -9*(-4*(-6))-(-3)*(4)*(-23)-(-9)*(-5)*(-23)+(-5)*(-3)*(-6)-(-3)*(-1)*(-5)-4*(-9)*(-4) = -1527

Матрица, полученная заменой столбца свободных членов на столбец коэффициентов перед y: | 10 -9 -3 | | 6 -1 -5 | | 3 -23 -6 |

Определитель матрицы = det(Ay) = 10*(-1)*(-6)-(-3)*(-23)*(3)-10*(-5)*(-23)-(-9)*(3)*(-5)+(-3)*(-6)*(6)+(-23)*(10)*(-9) = -6600

Матрица, полученная заменой столбца свободных членов на столбец коэффициентов перед z: | 10 -5 -9 | | 6 4 -1 | | 3 -4 -23 |

Определитель матрицы = det(Az) = 10*(4)*(-23)-(-9)*(4)*3-10*(-1)*(3)+(-5)*(3)*(-23)+(-5)*(-9)*6+(-4)*(10)*(-5) = 684

Теперь найдем значения переменных, поделив определители Ax, Ay и Az на определитель матрицы системы.

x = det(Ax) / det(A) = -1527 / -158 = 9.670886075949367

y = det(Ay) / det(A) = -6600 / -158 = 41.77215189873418

z = det(Az) / det(A) = 684 / -158 = -4.329113924050633

Таким образом, решение системы уравнений: x ≈ 9.670886075949367 y ≈ 41.77215189873418 z ≈ -4.329113924050633