Question

Помогите решить задачу. Для того чтобы выполнить задание, первому рабочему нужно на 12 часов меньше, чем второму, и на 4 часа больше чем обоим рабочим для выполнения задания. За сколько часов сделает это задание первый работник.

Answer 1

Обозначим: 

Первому рабочему на выполнение задания нужно Х часов, тогда второму рабочему нужно Х+12 часов.

За один час первый рабочий сделает 1/Х задания,
второй рабочий за один час сделает 1/(Х+12)

Вместе за один час они сделают 1/Х + 1/(Х+12).

Все задание рабочие сделают за 1: (1/Х + 1/(Х+12)) часов. Таким образом, получаем уравнение:

1: (1/Х + 1/(Х+12)) = Х-4

После преобразований получаем квадратное уравнение:

Х2 -8Х -48 = 0

По формуле корней получим :

Х1 = (8+16)/2 = 12

Х2 = (8-16)/2 = - 4

Второй корень не подходит, т.к. отрицательный.

Таким образом, ответ: Первый работник сделает задание за 12 часов.

Answer 2

Давайте обозначим время, которое потребуется второму рабочему для выполнения задания, как \(x\) часов. Тогда первый рабочий выполнит задание за \(x - 12\) часов, и за \(x - 4\) часа они вдвоем смогут выполнить задание.

У нас есть уравнение:

\[ \frac{1}{x-12} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x-4} \]

Давайте решим это уравнение. Умножим обе стороны на общее кратное знаменателей, чтобы избавиться от дробей. Общее кратное для \(x-12\), \(x\), и \(x-4\) это \((x-12)x(x-4)\). Умножим обе стороны на \(x(x-12)(x-4)\):

\[ (x-4) \cdot x(x-12) + (x-12) \cdot x(x-4) = (x-12) \cdot (x)(x-4) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ x(x-4)(x-12) - (x-12)(x-4)(x) + (x-4)(x)(x-12) = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

\[ x(x-4)(x-12) - (x-12)(x-4)(x) + (x-4)(x)(x-12) = 0 \]

Решим его:

\[ x(x^2 - 16x + 48) - (x^2 - 16x + 48) + x(x^2 - 16x + 48) = 0 \]

\[ x^3 - 16x^2 + 48x - x^2 + 16x - 48 + x^3 - 16x^2 + 48x = 0 \]

\[ 2x^3 - 32x^2 + 96x - 48 = 0 \]

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы видим, что \(x = 6\) является одним из корней. Разделим уравнение на \(x-6\):

\[ 2x^2 - 20x + 8 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Для удобства давайте разделим все коэффициенты на 2:

\[ x^2 - 10x + 4 = 0 \]

Теперь воспользуемся квадратным уравнением:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где у нас есть \(a = 1\), \(b = -10\), и \(c = 4\). Подставим значения:

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16}}{2} \]

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{84}}{2} \]

\[ x = \frac{10 \pm 2\sqrt{21}}{2} \]

Таким образом, у нас два корня:

\[ x_1 = 5 + \sqrt{21} \]

\[ x_2 = 5 - \sqrt{21} \]

Так как время не может быть отрицательным, отбросим \(x_2\). Таким образом, первый рабочий выполнит задание за \(x - 12\) часов, где \(x = 5 + \sqrt{21}\). Приблизительно:

\[ x \approx 5 + 4.58 \approx 9.58 \text{ часов} \]

Итак, первый рабочий выполнит задание примерно за 9.58 часов.