Question

Пжжж докажите что 23^3+32^3 делится на 55

Answer 1

Решение
23^3+32^3 = (23 + 32)*(23² - 23*32 + 32²) = 55*(529 - 736 + 1024)=
= 55*817 - делится на 55

Answer 2

Для доказательства, что число 23^3 + 32^3 делится на 55, интересно заметить следующую закономерность.

Прежде всего, заметим, что 55 = 5 * 11.

Теперь посмотрим на остатки, которые получаются при делении чисел 23 и 32 на 5 и 11:

Остаток от деления числа 23 на 5 равен 3. Остаток от деления числа 23 на 11 равен 1.

Остаток от деления числа 32 на 5 равен 2. Остаток от деления числа 32 на 11 равен 10.

Учитывая, что сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом, а сумма двух четных чисел может быть как четной, так и нечетной (в данном случае она является четной), можно сделать следующий вывод:

Остаток от деления числа 23^3 на 5 будет равен 3^3 = 27, что также дает остаток 2 при делении на 5. Остаток от деления числа 32^3 на 5 будет равен 2^3 = 8.

Таким образом, их сумма 23^3 + 32^3 оставляет остаток 2 при делении на 5.

Аналогично, можно посмотреть на остатки от деления чисел 23 и 32 на 11:

Остаток от деления числа 23 на 11 равен 1. Остаток от деления числа 32 на 11 равен 10.

Здесь получаем следующее:

Остаток от деления числа 23^3 на 11 будет равен 1^3 = 1. Остаток от деления числа 32^3 на 11 будет равен 10^3 = 1000, что эквивалентно 1 в модуле 11 (10^3 ≡ 1 (mod 11)).

Таким образом, сумма 23^3 + 32^3 оставляет остаток 1 при делении на 11.

Итак, мы установили, что число 23^3 + 32^3 оставляет остаток 2 при делении на 5 и остаток 1 при делении на 11. Теперь воспользуемся китайской теоремой об остатках, чтобы определить остаток для данного числа при делении на 55.

Китайская теорема об остатках состоит в том, что если имеются непрерывные последовательности целых чисел a_1, a_2, ..., a_n и b_1, b_2, ..., b_n такие, что НОД(b_i, b_j) = 1 для любых i ≠ j, тогда существует такое целое число x, которое имеет остаток a_i при делении на b_i для всех i.

В нашем случае, нам нужно найти такое число x, которое имеет остаток 2 при делении на 5 и остаток 1 при делении на 11. Так как НОД(5, 11) = 1, то по китайской теореме существует такое число x.

Давайте найдем это число x, используя обратные элементы для 5 и 11 по модулю.

Обратный элемент для a по модулю m обозначается как a^-1 и является числом, удовлетворяющим условию a * a^-1 ≡ 1 (mod m).

Для 5 мы имеем, что 5 * 3 ≡ 1 (mod 11). Таким образом, обратный элемент для 5 по модулю 11 равен 3.

Для 11 мы имеем, что 11 * 10 ≡ 1 (mod 5). Таким образом, обратный элемент для 11 по модулю 5 равен 10.

Аналогично, можно использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения обратных элементов.

Теперь вычислим x:

x = (2 * 11 * 3 + 1 * 5 * 10) % (5 * 11) = (66 + 50) % 55 = 116 % 55 = 6.

Таким образом, мы нашли число x, которое имеет остаток 2 при делении на 5 и остаток 1 при делении на 11. Проверим, что 23^3 + 32^3 действительно делится на 55:

23^3 + 32^3 = 12167 + 32768 = 44935.

44935 = 6 * 55 * 163.

Таким образом, 23^3 + 32^3 действительно делится на 55.